С помощью теоремы об устойчивости по первому приближению исследовать на устойчивость нулевое решение системы

Решение.

    Составим якобиан системы:

Теорема 5(о неустойчивости по первому приближению). Пусть функция непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности положения равновесия . Если хотя бы одно собственное значение матрицы Якоби  имеет положительную вещественную часть, то положение равновесия неустойчиво по Ляпунову.

Найдем собственные значения матрицы :

    Полином не является гурвицевым:

    Мы имеем один положительное собственное значение, следовательно тривиальное решение системы неустойчиво по Ляпунову.
        

Проверим наш результат в пакете Maple (Рис. 5.1)

>

>

Рис. 5.1 Численное интегрирование системы

Используя теорему Пуанкаре-Бендиксона, доказать существование цикла у системы.

Решение.

Сначала, покажем что у системы существует единственное (неустойчивое) состояние равновесия.

Построим якобиан системы:

;

;

Найдем собственные значения :

,

,

Оба собственных значения якобиана положительны, особая точка неустойчива.

Рассмотрим функцию

Ее производная в силу системы имеет вид:

;

Значения производной в силу системы меняются при пересечении эллипса

(6.1)

Однако, мы не можем использовать эллипсы для доказательства существования «кольца». Рассмотрим 2 окружности, , которая не пересекает эллипс (6.1) и лежит внутри него, и окружность , которая так же не пересекает заданный эллипс, и внутри которой он располагается (Рис. 6.1)

>

Рис. 6.1 Эллипс (1), при пересечении которого производная в силу системы меняет знак (красный), окружность  (фиолетовая), окружность , (синяя).

На окружности  производная в силу системы принимает положительные значения, на  - отрицательные, то есть траектории системы пересекают первую окружность в направлении «от центра», и вторую окружность по направлению «к центру».

На каждой окружности возьмем точки, лежащие близко к оси абсцисс и проверим поведение траекторий. Расчеты будем производить при помощи пакета Maple:

>

Действительно, по теореме о непрерывной зависимости решений от начальных данных, траектории будут в дальнейшем вести себя подобным образом.

Мы можем заявить о существовании цикла у системы.

Лемма 6.Если внутри положительно (отрицательно) инвариантной для траекторий системы  области нет состояний равновесия системы, то в этой области содержится по крайней мере один цикл системы.

Мы доказали, что у системы существует положительно инвариантная область, в которой нет решений системы. По лемме 6, у системы есть цикл.

Проверим полученный результат в пакете Maple (Рис. 6.2).

>

>

Рис. 6.2 Численное интегрирование системы

7. Методом Пуанкаре найти приближенно периодические решения дифференциального уравнения

Решение.

периодическое решение будем искать в виде ряда по степеням малого параметра, то есть в виде

Тогда

                                        (7.1)

Подставим ряды (7.1) в исходное уравнение

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях параметра  в левой и правой частях последнего равенства:

             (7.2)

…………………………………..

В (7.2) существует 2 решения:

1) Рассмотрим случай .

Тогда из второго уравнения системы (7.2):

.

Решение этого уравнения складывается из суммы частного и общего решений. Найдём общее решение:

характеристическое уравнение будет иметь вид: . Тогда

,

но период этого решения , т.е. оно не порождает -периодических решений, поэтому решение уравнения  будем искать в виде

.

Продифференцировав 2 раза, получим

 Тогда

Будем искать  из третьего уравнения системы (7.2).

Имеем:                              

, или ,

.

Решение будет иметь вид .

Тогда, подставляя в уравнение, получим:

.

Итак, приближенное периодическое решение имеет вид:

;

Или же:                       .

2) Теперь, рассмотрим случай .

Тогда из второго уравнения системы (7.2):

.

Решение этого уравнения складывается из суммы частного и общего решений. Найдём общее решение:

характеристическое уравнение будет иметь вид: . Тогда

.

Это решение имеет период , т.е. оно так же не порождает -периодических решений, поэтому решение уравнения  будем искать в виде

.

Продифференцировав 2 раза, получим  

    Тогда

Будем искать  из третьего уравнения системы (7.2).

Имеем:                                   

,

.

Решение будет иметь вид ,

Тогда, подставляя в уравнение, получим:

.

Таким образом, приближенное периодическое решение имеет вид:

.

Или же:              

 Используя пакет MathCAD, сравним полученные решения с точным решением исходного уравнения на периоде .

Для :

 Для :

Список литературы:

1.  Буркин И.М. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Методы интегрирования. Теория устойчивости. Теория колебаний. Тула: ТулГУ, 2004.

2.  Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985. – 448 с.

3.  Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. - М.: Наука, 1979. - 128 с.

4.  Пантелеев А.В., Якимова А.С., Босов А.В.«Обыкновенные дифференциальные уравнения в примерах и задачах». – Москва,2000

5. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г.«Дифференциальные уравнения». – Москва,2002