Исследовать устойчивость нулевого решения, построив функцию Ляпунова и применив теоремы Ляпунова или Четаева

Курсовая работа

 по курсу “Дифференциальные уравнения”

 на тему:

“Элементы качественной теории

Обыкновенных дифференциальных уравнений

и теории колебаний”

Автор работы ___________________  ст. гр. 520191 Ульченков М.А.

                                   подпись             дата

Руководитель работы ______________    асс. каф. мат.ан. Соболева Д. В.

                                                     подпись            дата

Работа защищена ___________________ Оценка  __________________

                                                                                                            дата

Тула 2011

Содержание

Пояснительная записка

В данной курсовой работе рассматриваются основные аспекты качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений на примере решения задач, посвященных нахождению особых точек и исследованию их характера для нелинейной автономной системы 2-го порядка; нахождению первого интеграла и построению фазового портрета нелинейного автономного уравнения 2-го порядка; исследованию устойчивости и асимптотической устойчивости нулевого решения линейного однородного уравнения 4-го порядка с постоянными однородного уравнения 4-го порядка с постоянными коэффициентами; построению функции Ляпунова для нелинейной автономной системы 2-го порядка; исследованию асимптотической устойчивости нулевого решения нелинейной автономной системы 2-го порядка с помощью линеаризации правых частей (первого приближения); исследованию диссипативности нелинейной автономной системы 2-го порядка и существовании у нее циклов; приближенному построению с помощью метода малого параметра периодического решения нелинейного неавтономного уравнения 2-го порядка. Особое внимание уделено построению фазовых траекторий в окрестностях особых точек и фазового портрета.

Объем курсовой работы составляет 33 стр. 

Найти особые точки системы. Определить их тип. Построить схематически фазовый портрет в окрестностях каждой особой точки.

Решение.

Для нахождения особых точек, необходимо решить систему

Разобьем ее на две:

    Таким образом, мы имеем 4 особые точки:

.

           Построим Якобиан системы:

Тип точки – седло	Тип точки - седло	Тип точки – устойчивый фокус
Тип точки – неустойчивый узел

Рассмотрим точки подробнее:

Рис 1.1 Схематический портрет особой точки

Рис 1.2 Схематический портрет особой точки

Для определение направления закручивания, построим вектор направления в окрестностях

Рис 1.3 Схематический портрет особой точки

Рис 1.4 Схематический портрет особой точки

Проверим полученный результат в пакете Maple:

Рис 1.5 Фазовый портрет особой точки

Рис 1.6 Фазовый портрет особой точки

Рис 1.7 Фазовый портрет особой точки

Рис 1.8 Фазовый портрет особой точки

2. Найти первый интеграл. Изобразить фазовый портрет уравнения на плоскости .

Решение.

Канонический вид уравнения Ньютона:

Оно описывает движение материальной частицы массой , в потенциальном поле с потенциалом . В нашем случае, уравнение имеет вид:

где , а .

    Для того, что бы найти первый интеграл, умножим обе части уравнения на :

,

следовательно:

    Выражение  является первым интегралом уравнения. Т.к. он является суммой кинетической  и потенциальной  энергии системы, этот интеграл называется интегралом энергии данной системы.

    Полагая, что , мы получаем эквивалентную исходному уравнению систему:

    Найдем особые точки системы:

    :

    , или  

    Таким образом, имеем три особые точки:

    Исследуем функцию :

    Функция четная, ;

    Функция обращается в 0 при .

    Производная функции обращается в ноль в особых точках системы.

    .

Таким образом, особая точка - точка типа «седло».

 и   - точки типа «центр».

Рис 2.1 Фазовый портрет уравнения на плоскости .

Проверим полученный результат в пакете Maple:

> restart; with(DEtools):
>plot(((x^4)/2))- ((x^2)/2))),x=-2..2,y=-0.2..0.3)  DEplot([diff(x(t),t)=y(t),diff(y(t),t)=x(t)-2*(x(t))^3], [x(t),y(t)], t=-10..10, [[x(0)=-2,y(0)=0], [x(0)=-1.5,y(0)=0], [x(0)=-1.25,y(0)=0], [x(1)=-1,y(1)=0],[x(1)=-0.75,y(1)=0], [x(1)=-0.5,y(1)=0], [x(1)=-0.25,y(1)=0],[x(0)=1,y(0)=0],[x(0)=0.75,y(0)=0], [x(0)=0.5,y(0)=0], [x(0)=0.25,y(0)=0]], x=-2..2, y=-4..4, stepsize=0.01, linecolour=red, method=rkf45);

Рис 2.2 Фазовый портрет уравнения на плоскости  в пакете Maple.

Угловые скорости движения точек по замкнутым фазовым траекториям (вокруг точек типа «центр») могут совпадать (синхронное движение) или же быть различным (асинхронное движение).

Для проверки синхронности движения вокруг точек  и  вычислим периоды движения по различным траекториям. Воспользуемся формулой

которая в нашем случае имеет вид:

Варьируя уровень энергии, построим таблицу зависимости периода движения для точек и   T₊ и T_- соответственно.

Таким образом, период вращения вокруг обеих точек зависит от уровня энергии (Рис 2.3), следовательно движение вокруг них является асинхронным.

Рис 2.3 График зависимости периода движения вокруг точек и  от уровня энергии.

> E:=-(0.10);

evalf(solve( (((x^4)/2) -((x^2)/2) - E) , x),10);

> a:=simplify((2^(1/2))*int((1/(sqrt(E+(x^2)/2 - (x^4)/2))),x=-0.85..-0.53));

b:=simplify((2^(1/2))*int((1/(sqrt(E+(x^2)/2 - (x^4)/2))),x=0.53..0.85));

>  E:=-(0.08);

evalf(solve( (((x^4)/2) -((x^2)/2) - E) , x),10);

> a:=simplify((2^(1/2))*int((1/(sqrt(E+(x^2)/2 - (x^4)/2))),x=-0.89..-0.45));

b:=simplify((2^(1/2))*int((1/(sqrt(E+(x^2)/2 - (x^4)/2))),x=0.45..0.89));

> E:=-(0.06);

evalf(solve( (((x^4)/2) -((x^2)/2) - E) , x),10);

> a:=simplify((2^(1/2))*int((1/(sqrt(E+(x^2)/2 - (x^4)/2))),x=-0.92..-0.38));

b:=simplify((2^(1/2))*int((1/(sqrt(E+(x^2)/2 - (x^4)/2))),x=0.38..0.92));

> E:=-(0.04);

evalf(solve( (((x^4)/2) -((x^2)/2) - E) , x),10);

> a:=simplify((2^(1/2))*int((1/(sqrt(E+(x^2)/2 - (x^4)/2))),x=-0.955..-0.3));

b:=simplify((2^(1/2))*int((1/(sqrt(E+(x^2)/2 - (x^4)/2))),x=0.3..0.955));

> E:=-(0.02);

evalf(solve( (((x^4)/2) -((x^2)/2) - E) , x),10);

> a:=simplify((2^(1/2))*int((1/(sqrt(E+(x^2)/2 - (x^4)/2))),x=-0.9789..-0.21));

b:=simplify((2^(1/2))*int((1/(sqrt(E+(x^2)/2 - (x^4)/2))),x=0.21..0.9789));

> E:=-(0.01);

evalf(solve( (((x^4)/2) -((x^2)/2) - E) , x),10);

> a:=simplify((2^(1/2))*int((1/(sqrt(E+(x^2)/2 - (x^4)/2))),x=-0.9897..-0.143));

b:=simplify((2^(1/2))*int((1/(sqrt(E+(x^2)/2 - (x^4)/2))),x=0.143..0.9897));

3. Исследовать при каких значениях параметра  асимптотически устойчиво нулевое решение уравнения.

Решение.

Мы имеем стандартный полином с коэффициентами

, ,   , ,   .

    Составим для полинома матрицу Гурвица, и применим критерий Льенара-Шипара:

    Следовательно, система асимптотически устойчива при .

Проверим результат в пакете Maple:

>

>

>

>

>

>

>

Исследовать устойчивость нулевого решения, построив функцию Ляпунова и применив теоремы Ляпунова или Четаева

Решение.

    Функцию Ляпунова будем искать в виде

Тогда,

Положим, . Функция Ляпунова и ее производная в силу системы будут иметь вид:

    Зададим множество

Теорема 4 (теорема Четаева). Пусть – положение равновесия системы . Пусть - непрерывно дифференцируемая функция, такая что  и  для некоторой точки , такой что  - произвольно малая величина. Определим множество , и предположим что  в . Тогда, - неустойчивое положение равновесия системы.

    Очевидно, что на множестве (и везде на плоскости) производная в силу системы принимает положительные значения. Положение равновесия неустойчиво по теореме Четаева.

    Проверим полученный результат в пакете Maple (Рис. 4.1)

> restart: with(DEtools):

> eq1:=(diff(x(t),t)=(x(t)^5)+(y(t)^3));

> eq2:=(diff(y(t),t)=(x(t)^3)-(y(t)^5));

> DEplot([eq1,eq2],[x(t),y(t)],t=0..50,[[x(0)=0.35, y(0)=-0.39],[x(0)=-0.4, y(0)=0.35], [x(0)=-0.4, y(0)=0.45],[x(0)=0.4, y(0)=-0.4]],x=-0.5..0.5, y=-0.5..0.5, linecolor=sin(t), stepsize=0.01);

Рис. 4.1 Фазовый портрет системы