Расчет переходных процессов классический методом

Задание

Для электрической цепи (рис. 1) определить после коммутации ток , если параметры цепи:

E = 120 B;       L = 10 мГн = 10^-2 Гн;       С = 10 мкФ = Ф ;

R₁ = 10 Ом ;    R₂ = 90 Oм ;     R₃ = 1000 Ом ;     R₄ = 1000 Ом.    

Расчет переходных процессов классический методом

Рис. 1

Рассчитываем цепь до замыкания ключа и определяем ток через индуктивность  и напряжение на емкости . Так как E = const, то

и  i₁(0_) = .

Для любого узла схемы по первому закону Кирхгофа имеем:

Следовательно  

i₁(0_) = i₃(0_)

По второму закону Кирхгофа для первого контура имеем:

i₁(0_) ∙ (R₁ + R₂) ∙ U_L(0_) + i₃(0_) ∙ R₄ + = E           

Отсюда

i₃(0_) = i₁(0_) =  = = 0,11A           (1)

Напряжение на емкости  определяется из уравнения, составленного по второму закону Кирхгофа для второго контура:

i₃(0_) ∙ R₃ + U_C(0_) – i₂(0_) = 0,

                         U_C(0_) = i₃(0_) ∙ R₄ = 0,11 ∙ 1000 = 109,1 B                  (2)

На основании законов коммутации определяем независимые начальные значения:

                            i₁(0₊) = i₁(0_) = 0,11 А                                     [*]                                        

                       U_C(0₊) = U_C(0_) = 109,1 В                              [**]

После коммутации (ключ замыкается) сопротивление R₃ подключится (рис. 1). Определяем токи и напряжения для нового энергетического состояния цепи в установившемся режиме.

Напряжение на индуктивности U_Lпр = 0 и ток через емкость i_2пр = 0.

Тогда                     

 Все найденные значения принуждённых токов и напряжений заносим в таблицу 1.

 Характеристическое уравнение получим, используя метод аналогии его с входным сопротивлением цепи на переменном токе. Для этого разрываем любую ветвь и относительно разрыва записываем входное сопротивление. Разорвём ветвь с конденсатором, тогда входное сопротивление будет записано для цепи (рис. 2) (источник закорачиваем, так как его внутреннее сопротивление равно нулю).

Рис. 2

Рис. 3

R₁₂₃ =  =  =

Из выражения (3) получаем, заменив  и приравняв , уравнение:

Для упрощения преобразований в (4) подставим значения только сопротивлений:

После преобразований получаем характеристическое уравнение:

В выражение (5) подставим L = 10 мГн = 10^-2 Гн и C = 10 мкФ = 10^-5 Ф и получим квадратное уравнение:

1000 ∙ 10^-2 ∙ 10^-5 ∙ p² + 90900 ∙ 10^-5 ∙ p + 10^-2 ∙ p + 1090,9 = 0,

10^-4 ∙ p² + (0,909+10^-2) ∙ p + 1090,9 = 0,

10^-4 ∙ p² + 0,919 ∙ p + 1090,9 = 0

Корни которого равны:

p₁ = -1401,26 с^-1 и p₂ = -7788,74 с^-1.

Проверка в MathCad:

Ввиду того, что корни характеристического уравнения действительные, отрицательные, неравные, то свободная составляющая тока (напряжения) будет иметь вид:

а полный ток (напряжение):

Так как (6) содержит две постоянные интегрирования, для их нахождения необходимо второе уравнение, которое получают из (6) путём дифференцирования по переменной t:

Постоянные интегрирования A1 и A2 находятся из начальных значений, для этого в уравнения (6) и (7) необходимо подставить момент времени t = 0. После подстановки получим систему:

                                                (8)

Следовательно, для определения постоянных интегрирования из (8) требуется найти значения токов (напряжений):

Для их нахождения составим систему уравнений по законам Кирхгофа для схемы (рис. 3):

                                                     (9)

Система уравнений содержит 5 неизвестных (i, i₁, i₂, u_L, u_C), поэтому дополним эту систему ещё двумя равенствами:

Систему (9) запишем для момента времени t = 0 и подставим независимые начальные значения [*], [**] и значения сопротивлений.

Получим

Разделив переменные в полученных уравнениях, будем иметь следующую систему:

                                                        (12)

Из решения системы уравнений (12) получаем

Таким образом, мы определили значения токов и напряжений в момент коммутации. Данные расчёта вносим в таблицу 1.

Из (10) при t = 0 можно определить производную тока

Продифференцируем по переменной t равенство (11), получим:

Для определения остальных производных продифференцируем систему (9) и запишем её при t = 0.

                                 (13)

С учётом найденных производных  получаем систему:

                                                   (14)

Находим:

Полученные результаты заносим в таблицу 1.

Таблица 1 - Результаты

Ввиду того, что принуждённый (установившийся) режим постоянный, то и значения принуждённых токов и напряжений при t = 0 будут теми же, что и в таблице 1. По этой же причине (принуждённые токи и напряжения не зависят от времени) производные принуждённых значений равны нулю.

Определяем из системы (8) постоянные интегрирования A₁ и A₂ для тока i₁(t), подставляя данные из таблицы 1 в систему (8).

Откуда A₁ = -1,329 А,   А₂ = 0,329 А.

Записываем закон изменения тока i₁(t):

i₁(t) = -1,329e^-1401,26t + 0,329e^-7788,74t А.

Построим график переходного процесса для тока

                       i₁(t) = -1,329e^-1401,26t + 0,329e^-7788,74t А.                  (15)

Длительность переходного процесса характеризуется постоянной времени и определяется, как обратная величина корня характеристического уравнения по модулю, т.е.  Свободная составляющая тока i₁(t) равна сумме двух экспонент:

,

Каждая из составляющих тока будет иметь свою постоянную времени, причём , следовательно  и поэтому длительность переходного процесса будет определяться постоянной времени . Переходный процесс считается практически установившемся через интервал времени  когда значение тока или напряжения достигают 95% от своего установившегося значения. Поэтому для построения графика полного переходного процесса достаточно взять интервал времени больше , например - .

Для построения графика тока i₁(t) (15) используем программу MathCad. График построим с шагом .  P₁=615 c