Одномерные задачи промерзания-протаивания

Задача 1. Рассмотрим задачу промерзания водоема, когда начальная температура пресной поды равна 0°С, снежный покров отсутствует, на поверхности льда поддерживается постоянная отрицательная температура t_п=-10°С. Теплопроводность льда λ_л=2,32 Вт/(м×°С), объемная теплоемкость Сл=1,9×10⁶ Дж/(м³×°С). Требуется определить глубину промерзания водоема через t= 6000 ч= 2,16×10⁷ с. Поскольку начальная  температуры воды равна нулю и на границе фазовых переходов t_з=0, то q₂=0. Для воды Q_ф =3,35×10⁸ Дж/м³.

          , м

Подставляем в выражение значения исходных данных

=1,73 м.

В том случае, когда температура поверхности остается постоянной, либо монотонно понижается (повышается при протаивании грунта), можно учесть затраты тепла, связанные с понижением (повышением) температуры льда (грунта). Тогда условие Стефана запишем в виде

,

Решение этого уравнения аналогично условию

, м

Подставляем значения исходных данных в выражение

=1,7 м

Задача 2.Рассмотрим задачу промерзания оголенного от снега и напочвенного покрова грунта с начальной температурой 0°С. На поверхности поддерживается постоянная температура t_п=-10°С. Грунт - суглинок: весовая влажностьW =0,27, количество незамерзшей воды в мерзлом грунте W_нз=0,1, объемный вес скелета грунта g_ск=1500 кг/м³, теплопроводность грунта в мерзлом состоянии λ_м=1,51 Вт/(м×°С), объемная теплоемкость в мерзлом состоянии С_м= 2,1×10⁶ Дж/(м³×°С). Требуется определить глубину промерзания через t= 6000 ч= 2,16×10⁷ с.

Расчетная формула имеет вид , м

Количество тепла, необходимое для замораживания 1м³ влажного грунта равно

, Дж/м³;

 где σ=335,2×10³ Дж/кг – удельная теплота фазовых переходов 1 кг воды.

 335,2×10³=85,48×10⁶ Дж/м³, =2,61 м

Задача 3. Рассмотрим задачу протаивания оголенного от напочвенного покрова грунта с начальной температурой 0°С. На поверхности постоянная температура t_п=10°С. Грунт – песок: весовая влажностьW =0,15, количество незамерзшей воды в мерзлом грунте W_нз=0, объемный вес скелета грунта g_ск=1500 кг/м³, теплопроводность грунта в талом состоянии λ_т=1,74 Вт/(м×°С), объемная теплоемкость в талом состоянии С_т=1,95×10⁶ Дж/(м³×°С). Требуется определить глубину протаивания через t=1,08×10⁷ с.

Расчетная формула имеет вид , м

Количество тепла, необходимое для оттаивания 1м³ влажного грунта равно

, Дж/м³;

 где σ=335,2×10³ Дж/кг – удельная теплота фазовых переходов 1 кг воды.

 335,2×10³=75,42×10⁶ Дж/м³; =2,1 м

Задача 4 . Рассмотрим сезонное промерзание грунта под снежным покровом высотой h_сн=0,3 м, плотностью g_сн=190 кг/м3. Грунт- суглинок: весовая влажностьW =0,3, количество незамерзшей воды в мерзлом грунте W_нз=0,1, объемный вес скелета грунта g_ск=1600 кг/м³, теплопроводность грунта в мерзлом состоянии λ_м=1,74 Вт/(м×°С), температура начала замерзания грунта t_з=-0,2 °С. На поверхности снега поддерживается постоянная отрицательная температура t_п=-15,2°С, а на глубине годовых колебаний (h₀) – постоянная положительная температура   t₀=3°С Требуется определить глубину промерзания через t= = 1,44×10⁷ с.

Расчетная формула

,

где S- мощность эквивалентного слоя мерзлого грунта, термическое сопротивление  которого равно термическому сопротивлению снега (R_c).  S определяем по формуле  , 

где l_сн- коэффициент теплопроводности снега, можно определить по формуле Проскурякова , Вт/м×°С; Q_ф- количество тепла, необходимое для оттаивания 1м³ влажного грунта

, Дж/м³;

 где σ– удельная теплота фазовых переходов 1 кг воды; σ =335,2×10³ Дж/кг;

µ - коэффициент, учитывающий влияние t₀ на процессы промерзания-протаивания; .

0,213 Вт/(м×°С); 2,45 м;

 335,2×10³=1,073×10⁸ Дж/м³; .

 0,9=1,04 м

Примечание: Если на поверхности мерзлого грунта, кроме снега, имеется мохово-торфяная подушка мощностью и теплопроводностью в морозном состоянии, то мощность эквивалентного слоя мерзлого грунта S оказывается равной

.

Задача 5. Рассмотрим сезонное протаивание грунта в условиях сливающейся мерзлоты. На поверхности грунта сравнительно сухая мохово-торфяная подушка мощностью h_п=0,1 м, термическим сопротивлением R_п=0,6 м²×°С/Вт. Грунт - суглинок: весовая влажностьW =0,3, количество незамерзшей воды в мерзлом грунте W_нз=0,1, объемный вес скелета грунта g_ск=1500 кг/м³, температура начала замерзания грунта t_з=0 °С, теплопроводность грунта в талом состоянии λ_т=1,16 Вт/(м×°С).  Температура поверхности напочвенного покрова за летний период t_л изменяется по закону , где А=15°С . Среднегодовая температура мерзлого грунта t₀=-3°С. Требуется определить  закон протаивания грунта во времени и мощность деятельного слоя при глубину промерзания через t_л= 1,08×10⁷ с.

Решение:

1. При гармоническом законе изменения температуры поверхности во времени максимаотная глубина сезонного оттаивания за летний период определяется по формуле

,

где S – мощность эквивалентного слоя, =0,6×1,16=0,7 м;

W_л- сумма градусочасов на поверхности напочвенного покрова за летний период,

 = ;

µ - коэффициент, учитывающий влияние t₀ на процессы промерзания-протаивания;

, ;

Q_ф- количество тепла, необходимое для оттаивания 1м³ влажного грунта,

, Дж/м³;

 где σ– удельная теплота фазовых переходов 1 кг воды; σ =335,2×10³ Дж/кг,

 335,2×10³=10⁸ Дж/м³.

Мощность деятельного слоя

 h_д=x_max+h_п=0,9+0,1=1 м.

Примечание: Если на поверхности напочвенного покрова поддерживается постоянная положительная температура tср, то имеем