Одномерное температурное поле

Задача 1. Дан слой однородного грунта мощностью h=6 м, коэффициент теплопроводности λ=1Вт/м×°С. На верхней (x=0) и нижней (x=h)границах грунта поддерживается постоянные температуры t₁=50°C и t₂=20°C. Требуется определить изменение температуры грунта по глубине t(x) и величину теплового потока q в стационарном состоянии.

Решение:

1. Изменение температуры по глубине определяется по формуле

,

2. Величину теплового потока находим по закону Фурье

, .

Примечание: Величину теплового потока можно определить также по формуле ,

где R- термическое сопротивление тела толщиной h.

, м²×°С/Вт; Δt- разность температур на границах рассматриваемого слоя однородного грунта .

В условиях задачи Δt=30°С; =6 м²×°С/Вт, .

Задача 2. Грунт представлен двумя слоями с разными коэффициентами теплопроводности. Температура верхнего слоя(о<x<h)  мощностью  h₁=5м обозначена t₁(x), теплопроводность λ₁=0,75 Вт/м×°С; нижнего слоя (h₁<x<h₁+h₂)   при h₂=10 м соответственно t₂(x) и λ₂=1,5 Вт/м×°С. На поверхности (x=0)  поддерживается постоянная температура t_п=25°С, на нижней границе (x= H= h₁+h₂)    t_н=5°С. Требуется определить распределение температуры по глубине и величину теплового потока.

Решение:

1. Изменение температуры по глубине соответственно равно

; .

;

.

2. Значение температуры на границе двух слоев (x= h₁=5м)

°С.

3.Величина искомого теплового потока равна

,   .

Примечание:

1.В каждом слое грунта имеем линейное распределение температуры по глубине.

2. Излом температуры на границе x=h объясняется различием коэффициентов теплопроводности двух слоев грунта.

3. Тепловой поток постоянен по глубине.

Задача 3. Грунт представлен тремя слоями с разными коэффициентами теплопроводности. Мощность верхнего слоя h₁=3м, теплопроводность λ₁=1 Вт/м×°С; мощность среднего слоя h₂ -h₁=5-3= 2м, теплопроводность λ₂=3 Вт/м×°С, мощность нижнего слоя h₃ –h₂=9-5= 4 м и  λ₃=2 Вт/м×°С. На поверхности (x=0)   и нижней (x= h₃) границах поддерживается температуры соответственно     t₁=25°С и     t₂=5°С. Требуется определить значение температур на границе слоев и величину теплового потока.

Решение:

1.Определяем значения термических сопротивлений верхнего R₁, среднего R₂ и нижнего R₃ слоев.

; ;

Сумма термических сопротивлений всех слоев равна

 м²×°С/Вт.

2.Определяем величину теплового потока

.

Обозначим температуру на границе x=h₁ как t (h₁), тогда имеем уравнение теплового потока для  верхнего слоя

. 

Отсюда, подставляя значения параметров, находим t (h₁)

; t (h₁)=14,5°С

Температуру грунта на глубине x=h₂ обозначим как t(h₂).

Выражение для теплового потока , ; t(h₂)=12°С.

Задача 4. Рассматриваем условия сезонного промерзания грунта. Имеем многослойную систему: снежный покров мощностью h_с =0,25м, теплопроводностью λ_с=0,2 Вт/м×°С ; напочвенный покров мощностью h_п =0,2 м , теплопроводностью λ_п=0,1 Вт/м×°С; слой мерзлого грунта мощностью h_м =0,7м , теплопроводностью λ_м=1,5 Вт/м×°С . На поверхности снега поддерживается постоянная температура t₁=-25°С, на подошве мерзлого грунта t₂=0°С. Требуется определить величину теплового потока и температуры на поверхности напочвенного покрова t_нп и мерзлого грунта t_мг .

Решение:

1. Определяем значения термических сопротивлений снега R_с, напочвенного покрова R_нп и слоя мерзлого грунта R_мг.

; ;

2. Сумма термических сопротивлений всех слоев равна

 м²×°С/Вт.

3. Находим величину теплового потока

.

4.  Значение t_нп находим из выражения для теплового потока в снежном покрове.

, , t_нп=-16,6°С.

Аналогично определяем значение t_мг из выражения для теплового потока в мерзлом грунте

, , t_нп=-3,1°С.

Задача 5. Рассматриваются условия сезонного протаивания грунта. Имеем двухслойную систему: напочвенный покров мощностью h_п =0,2 м , термическим сопротивлением R_п=1,5 м²×°С/Вт; слой талого грунта мощностью h_т =0,6м , теплопроводностью λ_т=1 Вт/м×°С . На поверхности напочвенного покрова поддерживается постоянная температура t₁=25°С, на подошве талого грунта t₂=0°С. Требуется определить величину теплового потока, направленного из атмосферы в грунт и значение температуры на поверхности талого грунта  под напочвенным покровом t_т.

Решение:

1. Сумма термических сопротивлений покрова R_п и талого грунта R_т равна

 м²×°С/Вт.

2. Величина теплового потока составляет

.

3. Для определения температуры на поверхности талого грунта t_т записываем выражение для теплового потока в грунте

, , t_т=7,1°С.

Задача 6. Рассматривается полубесконечный слой талого грунта теплопроводностью λ_т=1 Вт/м×°С. На поверхности грунта поддерживается постоянная температура t₁=1,5°С. Геотермический поток тепла равен q₀ =0,03 . Требуется определить изменение температуры грунта по глубине и значение температуры на глубине 200 м t₂₀₀.

Решение:

1. Поскольку грунт однородный, будет иметь место линейное изменение температуры по глубине. Градиент температуры находим из закона Фурье

°С/м

Тогда изменение температуры грунта по глубине определяется выражением

2. Определяем температуру грунта на глубине 200 м

Задача 7. Имеем четыре слоя грунта с разными коэффициентами теплопроводности. Мощность каждого слоя и его теплопроводность соответственно равны: h₁=40 м ,λ₁=1 Вт/(м×°С); h₂=20 м ,λ₂=1,5 Вт/(м×°С); h₃=50 м ,λ₃=2Вт/(м×°С); h₄=90 м ,λ₄=3 Вт/(м×°С). На поверхности поддерживается постоянная температура t₁=1,5°С. Геотермический поток тепла равен q₀ =0,03 . Требуется определить изменение температуры грунта по глубине.

Решение:

В каждом слое грунта будет постоянный тепловой поток q₀ и линейное изменение температуры по глубине. Необходимо определить значения температур на границах между слоями.

Для расчета температуры на границе (x=40 м) между первым и вторым слоями t₄₀ запишем выражение теплового потока в первом слое

; ; t₄₀=2,7 °С.

Аналогично находим значение температуры для остальных слоев

; ; t₆₀=3,1 °С;

; ; t₁₁₀=3,85 °С;

; ; t₂₀₀=4,75 °С.

Задача 8. Имеем толщу однородного многолетнемерзлого грунта мощностью h_м, теплопроводностью λ_м=1,5 Вт/(м×°С). Ниже залегает талый однородный грунт теплопроводностью λ_т=0,8 Вт/(м×°С). На поверхности мерзлого грунта поддерживается постоянная отрицательная температура t₁=-4°С, а на его подошве- t₂=0°С. Геотермический поток тепла равен q₀ =0,03 . Требуется определить мощность h_м и изменение температуры грунта на глубине 500 м.

Решение:

1. Для определения h_м воспользуемся выражением для стационарного теплового потока в мерзлом грунте

; ; h_м=300м.

2. Для определения температуры талого грунта на глубине 500 и, запишем выражение для теплового потока в слое талого грунта мощностью h_т=500-300=200м

; ; t₅₀₀=5 °С.

Задача 9. Рассматриваем случай сезонного протаивания грунта. На поверхности грунта имеется мохово-торфяный покров мощностью h_п =0,2 м, термическим сопротивлением R_п=1,2 м²×°С/Вт; Мощностью слоя талого грунта h_т =0,8м, теплопроводность λ_т=1 Вт/м×°С, термическое сопротивление R_т= (h_т / λ_т )=0,8 м²×°С/Вт. На подошве талого грунта температура равна t₂=0°С. На поверхности напочвенного покрова имеет место конвективный теплообмен с атмосферой, а также заданы тепловые потоки: тепло солнечной радиации S=100 Вт/м² и тепло, затраченное на испарение и уходящее от поверхности в атмосферу LE=80 Вт/м². Температура воздуха на высоте 2 м равна t_в=20°С, значение коэффициента теплообмена принимаем равным α=10 Вт/(м×°С). Требуется определить величину теплового потока, направленного из атмосферы в грунт (q), температуру поверхности напочвенного покрова (t_нп) и температуру поверхности минерального грунта (t_т).

Решение:

1. Для определения поверхности напочвенного покрова (t_нп) составляем уравнение теплового баланса для x=0

  Отсюда ;

где R- сумма термических сопротивлений напочвенного покрова и минерального грунта,

=1,2+0,8 =2 м²×°С/Вт;

=21°С

2. Величина теплового потока

=

3. Температура на поверхности минерального грунта

; °С.

Задача 10. Имеем слой талого грунта (0<x<h) мощностью h_т =100 м, теплопроводность λ_т=1 Вт/м×°С, объемной теплоемкостью С_т. На верхней (x=0) и нижней (x=h) границах грунта поддерживаются постоянные температуры t₁=1°Си t₂=6°С. В грунте происходят физико-химические реакции с выделением тепла. Интенсивность источников тепла равна w=10^-3 Вт/м³. Требуется определить изменение температуры грунта по глубине и величины тепловых потоков на глубинах x=0м, x=50м, x=100м.

Решение:

1.  Закон изменения температуры по глубине

;

Подставим в это выражения значения исходных параметров

=

2. Определим значения температур  соответственно на глубинах 25 м, 50м, 75 м .

= =3,19°С.

= =4,75°С.

= =5,7°С.

По полученным данным строим плавную линию, отражающую изменение температуры грунта по глубине при наличии источников тепла.

3. Из дифференциального уравнения теплопроводности с источниками тепла для одномерного теплового потока находим выражение для теплового потока

Подставляем значения исходных параметров в это выражение и находим величины теплового потока на глубинах x=0м, x=50м, x=100м.

Очевидно, что величина теплового потока при отсутствии источников тепла составит .

Задача 11. Решаем предыдущую задачу при условии, что физико-химические процессы протекают с поглощением тепла. Интенсивность стоков тепла равно w=10^-3 Вт/м³. Требуется определить изменение температуры грунта по глубине и величины тепловых потоков на глубинах x=0м, x=50м, x=100м.

Решение:

В этом случае в уравнение параметр w следует поставить со знаком минус. Тогда решение задачи примет вид

;

Подставим в это выражения значения исходных параметров

;

=1,31°С;

=2,25°С;

=3,81°С.

По полученным данным строим плавную линию, отражающую изменение температуры грунта по глубине при наличии стоков тепла.

Подставляем значения исходных параметров в выражение и находим величины теплового потока на глубинах x=0м, x=50м, x=100м при наличии стоков тепла .