Углы и стороны треугольника (3 Б.)

Даны величины углов треугольника KRT:

∡K=15°

∡R=135°

∡T=30°

Назови стороны этого треугольника, начиная с меньшей:

RT

<

KR

<

KT

Шаги решения

Даны величины углов треугольника KRT:

∡K=15°

∡R=135°

∡T=30°

Напротив меньшего угла лежит меньшая сторона, напротив большего угла лежит большая сторона.

RT<KR<KT

Определение расстояния до стороны равностороннего треугольника (3 Б.)

В равностороннем треугольнике проведена медиана AM=14 см.

Рассчитай расстояние от точки M до стороны AC.

1. Угол MAC=

30

°

2. Расстояние от точки M до стороны AC равно

7

см.

Шаги решения

1. Медиана в равносторoннем треугольнике является также биссектрисой угла, значит ∡MAC=30°.

2. Расстояние от точки M до стороны AC — это перпендикуляр от этой точки к стороне, поэтому треугольник AMN является прямоугольным.

3. В прямоугольном треугольнике длина катета MN напротив угла 30° равна половине гипотенузы AM, значит MN=7 см.

Свойство катета прямоугольного треугольника (2 Б.)

Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма короткого катета и гипотенузы равна 33 см.

Определи длину короткого катета.

1. Величина второго острого угла равна

30

°

2. Длина короткого катета равна

11

см.

Шаги решения

1. Если один из острых углов прямоугольного треугольника равен 60°, то другой острый угол равен 30°.

2. Значит острый угол, который равен 30°, является меньшим углом прямоугольного треугольника, а напротив меньшего угла расположена меньшая сторона.

Катет напротив угла равного 30° равен половине гипотенузы.

Если обозначить короткий катет через x, то

x+2x=333x=33x=33:3x=11

Сумма острых углов прямоугольного треугольника и внешний угол (2 Б.)

Дан прямоугольный треугольник MEC и внешний угол угла ∡C.

E

M C P

Определи величины острых углов данного треугольника, если∡ECP=150°.

∡C=

30

°

∡E=

60

°

Шаги решения

E

M C P

1. Если∡ECP=150°, то его смежный угол ∡ECM=180−150=30°.

2. ∡E=90−30=60°

Определение величины углов (3 Б.)

В равнобедренном треугольнике ABC проведена высота BD к основанию AC.

Длина высоты — 13,4 см, длина боковой стороны — 26,8 см.

Определи углы этого треугольника.

∡BAC=

30

°

∡BCA=

30

°

∡ABC=

120

°

Шаги решения

1. Треугольник ABD — прямоугольный. Если в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы, то против него находится угол величиной 30°

Так как углы у основания равны, то

∡BAC=∡BCA=30°.

2. Сумма острых углов треугольника равна 90°, значит второй острый угол треугольника равен 60°. Так как в равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является и биссектрисой угла вершины. Поэтому

∡ABC=120°

Угол между высотами треугольника (3 Б.)

Высоты треугольника пересекаются в точке O.

Величина угла ∡BAC=87°, величина угла ∡ABC=52°.

Определи угол ∡AOB.

∡AOB=

139

°

Шаги решения

1. В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°, значит в треугольнике ABD ∡ABD=90−87=3°

2. В прямоугольном треугольнике BAE ∡BAE=90−52=38°

3. В треугольнике сумма углов 180°, следовательно ∡AOB=180−(3+38)=139°

Определение углов (3 Б.)

L

K N C

В треугольнике KLC проведена высота LN.

Известно, что ∡LKC=37° и ∡KLC=133°.

Определи углы треугольника NLC.

∡LNC=

90

°

∡NLC=

80

°

∡LCN=

10

°

Шаги решения

L

K N C

∡LNC=90°, так как высота проведена перпендикулярно к прямой, на которой находится сторона.

∡NLC=133−(90−37)=80° из прямоугольного треугольника KLN определяем угол ∡KLN, потом определяем искомый угол.

∡LCN=180−(37+133)=10°, так как сумма углов треугольника равна 180°.