Влияние переменного электрического и магнитных полей на движение электронов в скрещенных полях.

Движение электронов в скрещенных однородных электрическом и магнитном полях

Стационарные поля в приборах типа М. Приборами типа М называют электронные СВЧ приборы, в которых движение электронов происходит в скрещенных электрическом и магнитном полях. Иначе говоря, векторы напряженностей электрического и магнитного полей в таких приборах взаимно перпендикулярны. В случае плоской конструкции электродов (рис. 4-1, а) вектор ε напряженности электрического поля нормален к поверхностям электродов, а вектор В индукции магнитного поля лежит в плоскости, параллельной плоскостям электродов и перпендикулярен вектору ε.

Рис. 4-1. Электрическое и магнитное поля в приборах с плоской (а) и цилиндрической (б) конструкцией электродов

В приборах с электродами цилиндрической конструкции (рис. 4-1, б) вектор ε направлен по радиусу к оси, а вектор В параллелен оси.

В таких скрещенных полях электроны подвергаются воздействию сил электрического и магнитного полей и движутся по сложным траекториям.

Сила, действующая на электрон в скрещенных полях, слагается в общем случае из силы действия электрического поля и силы магнитного поля

F_ζ = F_e + F_м, (4-1)

где

F_e = - еε; (4-2)

F_м = e [υB]. (4-3)

Вектор силы F_м нормален к плоскости, в которой расположены векторы - сомножители υ и В. Направление вектора F_м силы Лоренца легко найти, пользуясь правилом правой руки.

Для прямоугольной системы координат силу F_м можно записать в виде

Раскрывая детерминант и учитывая, что F = ma, получим выражения для составляющих силы F_м по осям координат:

Для составляющих суммарной силы F_ζ можно записать:

Случай плоских электродов. Рассмотрим частный случай движения электрона в суммарном поле, когда векторы ε и В взаимно перпендикулярны и электрическое поле образовано двумя плоскими параллельными электродами k и а (рис. 4-2), разность потенциалов которых Ua = εd, где d - расстояние между электродами.

Рис. 4-2. Движение электрона во взаимно перпендикулярных однородных электрическом и магнитном полях

Пренебрежем краевым эффектом и будем считать поля однородными. Для этого случая εx = 0; Вх = 0, εу = 0; Ву = -В; εz = - ε; Bz = 0.

Электрон находится в начале координат (x = y = z = 0), его начальная скорость υ0 = 0 и уравнения (4-8) - (4-10) принимают вид:

Движение электрона будет происходить в плоскости yoz. Перепишем уравнения (4-12) и (4-13) в виде

и обозначим:

и

Тогда (4-14) и (4-15) можно переписать следующим образом:

Проинтегрируем уравнение (4-19)

Постоянная интегрирования с = 0, так как при t = 0 x = z = 0, dy/dt = 0 и dz/dt = 0; подставляя (4-20) в (4-18), получим:

Решение этого уравнения дает

Подставляя (4-22) в (4-20) и интегрируя его, будем иметь:

Полученные выражения являются параметрическими уравнениями циклоиды - траектории точки окружности, катящейся по оси z. Составляющие скорости движения электрона можно определить, продифференцировав по времени (4-22) и (4-23):

Отсюда видно, что движение электрона слагается из равномерного поступательного движения вдоль оси z с постоянной скоростью, равной а/ω_ц = ε/В, и кругового движения с частотой соц, называемой циклотронной частотой.

Наибольшее отклонение электрона вдоль оси у соответствует значению cos ω_цt = -1, т.е. ω_цt = π. При этом согласно (4-22), (4-16) и (4-17)

Отсюда легко определить радиус катящейся окружности

Траектория электрона пересечет ось z через время, равное полному обороту окружности, образующей циклоиду: ω_цt = 2π. Определяя отсюда время t = 2π/ω_ц подставляя его в (4-23), получим:

Когда электрон входит в рассмотренное выше суммарное поле с начальной скоростью υ₀ под некоторым углом а к оси z (рис. 4-3), уравнения (4-18) и (4-19) имеют такой же вид, но так как при t = 0, dz/dt = υ_0z и dy/dt = υ_0y, то интегрирование их приводит к иному результату:

Рис. 4-3. Общий случай движения электрона во взаимно перпендикулярных однородных электрическом и магнитном полях (ε ⊥ B; υ₀ ≠ 0)

Эти выражения являются параметрическими уравнениями трохоиды. Полученные ранее параметрические уравнения циклоиды (4-22) и (4-23) являются частным случаем (4-29) и (4-30), когда υ₀ = 0.

Трохоидальное движение совершает точка на спице колеса, катящегося вдоль оси, причем радиус производящей окружности, точка которой описывает трохоиду, в общем случае не равен радиусу катящейся окружности. Эти радиусы равны лишь для циклоидального движения (υ₀ = 0).

Составляющие скорости электрона при трохоидальном движении можно определить, продифференцировав по времени (4-29) и (4-30):

Отсюда видно, что движение вдоль оси z слагается из поступательного движения со скоростью а/соц, не зависящей от начальной скорости, и вращательного движения с циклотронной частотой соц, определяемой индукцией магнитного поля В. При υ_0y = υ_0z = 0 эти уравнения обращаются в (4-24) и (4-25).

Радиус производящей окружности можно определить, выделив из уравнений (4-29) и (4-

30) члены, определяющие периодическое движение:

Отсюда видно, что радиус производящей окружности

пропорционален квадрату начальной скорости электрона, т. е. его начальной энергии. Для циклоидального движения (υ_0y = v_0z = 0)

По трохоидальной траектории электрон может двигаться и тогда, когда энергия этектрона обладающего нулевой начальной скоростью, изменится в процессе его движения. При этом циклоида превратится в трохоиду. Если электрон при движении теряет энергию, то радиус производящей окружности уменьшается и электрон движется по укороченной циклоиде (рис. 4-4, а). При увеличении энергии электрона в процессе движения его траектория представляет собой удлиненную циклоиду (рис. 4-4, б).

Рис. 4-4. Траектории движения электрона по укороченной (а) и удлиненной (б) циклоидам

Задача о движении электронов в скрещенных полях в приборах с цилиндрическими электродами может быть решена аналогично только что рассмотренной задаче. Уравнения для составляющих суммарной силы удобно при этом записать применительно к системе цилиндрических координат. Не повторяя еще раз всего рассмотрения, отметим лишь, что в системе с электродами цилиндрической конструкции движение электронов при υ₀ = 0 будет происходить по эпициклоидальной траектории (рис. 4-5).

Рис. 4-5. Эпициклоидальная траектория движения электрона

ЛИБО

В приборах магнетронного типа (типа М) происходит преобразование потенциальной энергии электронов, движущихся в скрещенных постоянном электрическом и магнитных полях в энергию СВЧ колебаний. В таких скрещенных полях электроны подвергаются воздействию сил электрического и магнитного полей и могут двигаться по различным траекториям. Сила, действующая на электрон в скрещенных полях, слагается в общем случае из силы действия электрического поля F_e и силы магнитного поля F_м.

F = F_e + F_м, (2.66) где F_e = -eE, (2.67) где e-заряд

F_м = e[VВ]. (2.68)

Характер движения электрона в междуэлектродном пространстве зависит от соотношения значений напряженности Е электрического поля и индукции В магнитного, а также от начальной скорости электронов (рис.2.25).

Если поля отсутствуют (Е = В = 0), то на электрон не действуют силы и он движется равномерно и прямолинейно (рис.2.25,а). При движении в одном лишь постоянном электрическом поле (В=0) электрон получает ускорение в направлении противоположном линиям Е, и его траектория соответственно искривляется (рис.2.25,б).

Под действием магнитного поля электрон, движущийся равномерно и прямолинейно, перейдет на круговую траекторию и будет вращаться вокруг магнитных силовых линий (рис.2.25,в), сохранив значение своей скорости V. При этом радиус R описываемой окружности будет определяться из условия равенства магнитной и центростремительных сил: еVB = mV²/R. При определенной взаимной ориентации векторов Е, B, V электрическая и магнитная силы имеют противоположные направления и их равнодействующая F может быть равна нулю при V = Е/В. В этом случае движение электрона в скрещенных полях будет прямолинейно и равномерно в сечении, находящимся от отрицательного электрода на расстоянии d₁ (рис.2.25,г), для которого выполняется условие еЕd₁ = mV²/2. Если в скрещенных полях оказывается электрон с нулевой начальной скоростью, то его траектория оказывается циклоидой, т.е. кривой которую описывает точка, лежащая на окружности, катящейся без скольжения по плоскости (рис.2.25,д). При этом угловая скорость вращения окружности определяется выражением ω_ц = eB/m. (2.69)

Скорость перемещения ее центра (переносная скорость) V_n = E/B. (2.70)

Радиус окружности определяется из очевидного равенства V_n = ω_цR, откуда R = V_n/ω_ц = mE/(eB²). (2.71)

В приборах типа М реализуются траектории типа прямой при V = V_n = E/B и типа циклоиды при V = 0.