Решение самосогласованной задачи взаимодействия электронов с полем замедляющей системы.

Особенности взаимодействия электронов и поля в ЛБВ с резонаторными замедляющими системами определяются характером распределения полей в такой системе. Поскольку амплитуды полей вдоль резонаторной замедляющей системы изменяются от максимального значения в зазоре взаимодействия до минимального в пролетном канале, взаимодействие электронного пучка с полем происходит дискретно в ограниченных областях. Наиболее общим при решении задач данного типа является дискретный подход.

Анализ методов решения задачи дискретного взаимодействия в ЛБВ с резонаторными замедляющими системами [1-7] показывает многообразие форм уравнений возбуждения. Они сформулированы в двух формах дифференциальной и интегральной. Интегральная форма может быть получена независимо либо из дифференциальной формы уравнения возбуждения. При дискретном подходе аналогом дифференциальной формы является разностная форма уравнений возбуждения, а интегральной - форма в виде конечного ряда. Исследования, проведенные в работе [8], показали, что с помощью формальных преобразований известные уравнения возбуждения сводятся к конечно-разностным уравнениям двух типов:

(1) (2)

Коэффициенты этих уравнений могут быть выражены через коэффициенты матрицы передачи шестиполюсника, моделирующего ячейку резонаторной ЗС, возбуждаемую током, как это сделано в (1,2), элементы эквивалентной схемы ячейки или электродинамические характеристики ЗС, в случае использования полевых методов. Обосновать использование той или иной математической модели, при описании дискретного взаимодействия, позволяет разностная форма электродинамической теории возбуждения [9].

Согласно этой теории возбуждения, суммарное поле разностное уравнение для полного поля Е, возбуждаемого произвольным током имеет вид

(3)

Правая часть уравнения определяется возбуждающим током и имеет вид

,

где ,

- объемы одного периода системы, причём - объём справа, - слева от данного сечения ..

Разностное уравнение (3) является точным следствием обычных формул возбуждения и справедливо при произвольном выборе сечения z. При решении уравнения (3) для конечного отрезка системы краевые условия накладываются на Е и DE или их комбинации на одной или двух границах отрезка.

В предположении постоянства фазы в зазоре взаимодействия и при проведении усреднения поля по сечению пучка (одномерная теория) интегралы по k-1 и k+1 зазорам в правой части разностного уравнения возбуждения обращаются в ноль, и в уравнении для k-го зазора остается только ток данного зазора

(4)

Это уравнение можно переписать также относительно потенциала на зазоре

(5)

Нетрудно видеть, что оно совпадает по форме с уравнением (2).

Таким образом, для описания ЛБВ с дискретным взаимодействием, в которых фаза поля в зазорах взаимодействия в продольном направлении остается постоянной, электродинамически обоснованным является использование разностного уравнения (2). Этому уравнению соответствует шестиполюсник, у которого входы возбуждения полем и током объединены. Секция ЛБВ, возбуждаемая заданным током, в этом случае моделируется цепочкой таких шестиполюсников (рис.1), что позволяет легко учитывать граничные условия на концах секции и отражения, возникающие при объединении в секцию неидентичных ячеек.

Рис.1. Модель секции ЛБВ, составленная из шестиполюсников.