Уравнения Максвелла, уравнения движения и непрерывности

Наиболее общий подход к явлениям электродинамики на низких, высоких и сверхвысоких частотах обеспечивается применением тео­рии электромагнитного поля и уравнений Максвелла.

С учетом движущихся свободных зарядов система уравнений Мак­свелла относительно векторов напряженностей электрического и магнитного полей Е и Н, а также векторов индукции D и В может быть записана в виде:

,                          (2.1)

,                                                  (2.2)

,                                              2.3)

,                                              (2.4)

где

,                                             (2.5)

.                                              (2.6)

Через ε, μ и σ здесь, как обычно, обозначены относительные ди­электрическая и магнитная проницаемости среды и ее удельная про­водимость. Поскольку рабочей средой в электровакуумных приборах является вакуум или газ, величины ε и μ, могут быть в дальнейшем положены равными единице, а удельная проводимость среды σ — равной нулю.

Величины диэлектрической и магнитной проницаемостей вакуума ε₀ и μ₀ равны:

; ;                     (2.7)

Через ρ и V в уравнениях (2.1) и (2.3) обозначены объемная плот­ность свободных зарядов и скорость движения этих зарядов. Ве­личина ρV определяет плотность конвекционного тока «J_КОНВ (тока переноса):

.                                            (2.8)

и характеризует количество электрического заряда, проходящего за единицу времени через единицу поверхности, нормальной к век­тору скорости v. Полная плотность тока Jполн входящая в (2.1), в любом сечении при σ = 0 является суммой плотностей конвекци­онного тока и тока смещения.
Система уравнений Максвелла является неполной для решения задач при наличии свободных заряженных частиц, поскольку ско­рость v зависит не только от начальных условий, но и от напряженностей полей Е и Н в каждой точке, где находится рассматриваемая частица.

Зависимость скорости заряженных частиц от величин электри­ческого и магнитного полей определяется уравнением движения, которое с учетом силы Лоренца может быть записано в общем виде:

.                                      (2.9)

где q — заряд частицы, предполагаемый здесь точечным, т — масса частицы и F — сила, действующая на заряд.

Если скорость частицы много меньше скорости света с в свобод­ном пространстве, уравнение (2.9) принимает вид

,                                        (2.10)

где m₀ — масса покоящейся частицы.

В наиболее распространенном случае, когда рассматриваемыми зарядами являются свободные электроны, необходимо положить q=-е.Абсолютная величина заряда электрона и величина массы покоящегося электрона равны:

;  ;                     (2.11)

Величины е и m₀ часто встречаются в конкретных расчетах элект­ронных приборов.

Уравнение движения широко используется при анализе и расчете различных электронных приборов СВЧ. Напряженность электриче­ского поля Е и индукция магнитного поля В, входящие в (2.10), могут быть как постоянными во времени, так и иметь переменную составляющую. Практически, однако, в большинстве случаев до­статочно учитывать, кроме постоянных составляющих Е и В, лишь переменную составляющую электрического поля, пренебрегая вы­сокочастотной составляющей магнитного поля. Для иллюстрации рассмотрим участок передающей линии, возбужденной на попереч­ной электромагнитной волне (волне типа ТЕМ). Положим для просто­ты постоянные во времени поля равными нулю. Силу, действующую на свободный электрон при вакуумном наполнении, можно записать в виде:

,

где Fе и Fн — составляющие, обусловленные действием электри­ческого и магнитного высокочастотных полей.

Максимальная величина силы Лоренца | F_H| равна eμo |v| |H|

От­сюда:

.

Отношение |Н|/|Е| является обратной величиной характеристическо­го сопротивления [1], равного в рассматриваемом случае .

Подставляя эту величину в полученное выше отношение и учиты­вая, что , имеем:

.

Похожий результат можно получить и в других случаях, например, при движении заряда в волноводе или полом резонаторе.

Таким образом, если скорость электронов много меньше скорости света в свободном пространстве, то действием высокочастотного магнит­ного поля в сравнении с действием высокочастотного электрического поля можно обычно пренебречь. Далее будет показано, что условие малости скорости электронов в сравнении со скоростью света выполняется в большинстве современных приборов СВЧ. Однако и в тех случаях, когда эти скорости оказываются соизмеримыми, от действия высокочастотного магнитного поля удается, как правило, отвлечься, так как в пространстве взаимодействия обычно присутствует преиму­щественно электрическое поле.

Уравнение непрерывности вытекает непосредственно из урав­нений Максвелла. Рассмотрим выражение плотности полного тока:

 .                                   (2.12)

По уравнению (2.1) полный ток всегда имеет чисто вихревой ха­рактер, поэтому:

,

.

Подставляя в это выражение уравнение (2.3), получаем урав­нение непрерывности в виде:

.                                      (2.13)

Уравнение (2.13) особенно полезно при рассмотрении волновых про­цессов в электронных потоках, например, в лампах бегущей и обратной волны. По своему физическому смыслу это уравнение сводится к закону сохранения заряда.

Для вычисления скорости электрона, приобретенной в потен­циальном электрическом поле, обычно исходят из закона сохранения энергии:

; ;                                   (2,14)

Через U в этих уравнениях обозначена разность потенциалов между рассматриваемой точкой пространства и точкой, где скорость электрона равна нулю.

Подставляя в (2.14) величины е и m₀, получаем расчетное урав­нение

.               (2.15)

Уравнения (2.14) и (2.15) формально показывают возможность достижения сколь угодно высоких скоростей электронов при неогра­ниченном повышении ускоряющего напряжения U. Этот физически неправильный вывод легко устраняется с помощью теории относи­тельности. В общем случае кинетическая энергия электрона Wк  должна определяться не из подразумевавшегося выше соотношения , а из условия:

,

где .

Приравнивая кинетическую энергию W_к и исходную потенциаль­ную энергию электрона, равную eU, получим:

.                                    (2.16)

Уравнение (2.16) может быть переписано в виде:

.                              (2.17)

Этим уравнением можно пользоваться при расчетах электронных приборов, пренебрегая релятивистскими по­правками, вплоть до значений U порядка нескольких десятков ки­ловольт.

Следует сделать еще одно важное замечание, связанное с приме­нением уравнений (2.14)—(2.17). Эти уравнения не учитывают воз­можного изменения величины U за время движения частицы и поэтому могут быть применены, строго говоря, только в случаю статического электрического поля или — приближенно — к случаю, когда время пролета частиц много меньше периода изменения напряжения. Ко­гда же время пролета соизмеримо с периодом колебаний, следует учитывать изменение напряжения и длительность пролета. Этот воп­рос рассматривается более подробно в дальнейшем.

Система рассмотренных основных уравнений электроники СВЧ требует для своего решения задания граничных и начальных условий. Такими условиями, кроме обычных условий для электрического и маг­нитного полей на поверхностях раздела сред, являются начальные скорости частиц (электронов) на фиксированных поверхностях в фиксированные моменты времени.