КОРОТКІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

При індивідуальному прогнозуванні за ознаками із класифікацією задача полягає в розподілі досліджуваної сукупності виробів на класи й немає необхідності в оцінці конкретного значення прогнозованого параметра. У більшості практичних застосувань цього методу число класів дорівнює двом. Так буває, наприклад, коли досліджувану сукупність необхідно за заданим правилом розділити на клас придатних і клас дефектних виробів.

У цій лабораторній роботі зазначена задача вирішується методами теорії статистичної класифікації, для чого необхідно мати у своєму розпорядженні умовні багатовимірними густини розподілу ознак для кожного класу. Задача полягає у знаходженні способу прийняття оптимального рішення про приналежність екземпляра, що перевіряється, до того або іншого класу в умовах невизначеності, тобто в умовах дії випадкових факторів, що маскують зв'язок між ознаками й класом екземпляра. Умовимося, що екземпляр, який перевіряється, належить до класу К₁, якщо значення прогнозованого параметра на момент часу прогнозування буде більше деякого порогового значення; будемо вважати такі вироби придатними. У противному випадку екземпляр належить до класу К₂ (дефектних).

ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ

Використовуючи конспект лекцій та рекомендовану літературу, вивчити теорію статистичної класифікації і її застосування для вирішення задачі індивідуального прогнозування. Ознайомитися зі змістом і порядком виконання роботи.

ПОРЯДОК ВИКОНАННЯ РОБОТИ

3.1. За номером у журналі обрати варіант завдання для вирішення задачі прогнозування методом оптимальної класифікації, коли число класів дорівнює двом (клас придатних і клас дефектних виробів). Початковий стан виробу характеризується однією ознакою, спільна густина розподілу значень ознаки та прогнозованого параметра задається двовимірним нормальним законом розподілу.

Вихідними даними є наступні параметри:

- порогове значення прогнозованого параметра Y_пор ;

- математичне сподівання ознаки M_x;

- математичне сподівання прогнозованого параметра M_y ;

- дисперсія ознаки D[x] ;

- дисперсія прогнозованого параметра D[y] ;

- коефіцієнт кореляції між ознакою й прогнозованим параметром r;

- значення ознаки X^(J) ;

- втрати, пов'язані з помилковими рішеннями: ціна перейменування класу екземпляра з К₁ у К₂ (Ц_1®2) і ціна перейменування класу екземпляра з К₂ у К₁ (Ц_2®1).

3.2. Написати й налагодити програму в пакеті Matlab, яка реалізує процедуру оптимальної класифікації. Основні кроки алгоритму розв'язання задачі індивідуального прогнозування за ознаками методом оптимальної класифікації наведено нижче.

3.3. Визначити апріорні імовірності приналежності екземпляра виробу до класу К₁  або К₂ : P(К₁) і P(K₂).

3.4. Визначити умовне математичне сподівання ознаки за умови, що екземпляр належить до класу К₁ – M[ /K₁] і умовне математичне сподівання ознаки за умови, що екземпляр належить до класу К₂  – M[ /K₂] .

3.5. Розрахувати значення безумовної густини розподілу ознаки W(x) для значень ознаки х=M_x; M_x ± 0.2s_x; M_x ± 0.4s_x; M_x ± 0.6s_x; M_x ± 0.8s_x; M_x ± s_x; M_x ± 2s_x; M_x ± 3s_x. Результати розрахунків представити у вигляді таблиці.

3.6. Розрахувати значення умовних густин розподілу ознаки за умови, що екземпляр належить до класу К₁ або K₂ : W(x/ К₁) і W(x/ K₂). Значення умовних густин визначити для значень ознаки x=M[ /K_i]; M[ /K_i] ± 0.2s_x; M[ /K_i] ± 0.4s_x; M[ /K_i] ± 0.6s_x; M[ /K_i] ± 0.8s_x; M[ /K_i] ± s_x; M[ /K_i] ± 2s_x; M[ /K_i] ± 3s_x. Результати розрахунків представити у вигляді таблиці.

3.7. Знайти порогове значення ознаки X_кл .

3.8. Визначити апріорні імовірності ухвалення рішення про віднесення екземпляра до класу К₁  або К₂ : P(ріш К₁) і P(ріш K₂).

3.9. Знайти умовне математичне сподівання прогнозованого параметра при умовах, що ухвалено рішення про віднесення екземпляра відповідно до класу К₁ – M[ /ріш K₁] і класу К₂ – M[ /ріш K₂].

3.10. Визначити значення безумовної густини прогнозованого параметра W(y) для значень y=M_y; M_y ± 0.2s_y; M_y ± 0.4s_y; M_y ± 0.6s_y; M_y ± 0.8s_y; M_y ± s_y; M_y ± 2s_y; M_y ± 3s_y. Результати розрахунків представити у вигляді таблиці.

3.11. Розрахувати умовні розподіли прогнозованого параметра за умови, що приймається рішення про віднесення екземпляра до класу К₁  або К₂ : W(y/ріш К₁) і W(y/ріш К₂) . Значення умовних густин визначити для наступних значень прогнозованого параметра y=M[ /ріш K_i]; M[ /ріш K_i] ± 0.2s_y; M[ /ріш K_i] ± 0.4s_y; M[ /ріш K_i] ± 0.6s_y; M[ /ріш K_i] ± 0.8s_y; M[ /ріш K_i] ± s_y; M[ /ріш K_i] ± 2s_y; M[ /ріш K_i] ± 3s_y. Результати розрахунків представити у вигляді таблиці.

3.12. Знайти відношення правдоподібності l(x) для чотирьох значень ознаки X⁽¹⁾, X⁽²⁾, X⁽³⁾, X⁽⁴⁾.

3.13. Розрахувати порогове значення відношення правдоподібності й прийняти рішення про віднесення кожного із чотирьох екземплярів виробу (див. п. 3.11) до того або іншого класу .

3.14. Використовуючи порогове значення X_кл зробити класифікацію виробів, значення ознак яких відповідають X⁽¹⁾, X⁽²⁾, X⁽³⁾, X⁽⁴⁾. Порівняти результати класифікації в п.3.12 і п. 3.13.

3.15. Розрахувати значення модуля різниці умовних математичних сподівань, знайдених у п.3.9. При збільшенні зазначеного модуля різниці ризики виробника P(K₁/ріш K₂) та споживача P(K₂/ріш K₁) зменшуються. Значення модуля різниці умовних математичних сподівань визначити для наступних значень тісноти зв'язку між ознакою й прогнозованим параметром: r; 0.8r; 0.6r; 0.4r; 0.2r; 0.1r. Результати розрахунків представити у вигляді таблиці й графіка.

3.16. Використовуючи результати розрахунків, отримані в п.п. 3.4, 3.5, 3.6, 3.9, 3.10, 3.11, в системі координат ознаки й прогнозованого параметра надати взаємне розташування відповідних безумовних і умовних густин розподілу. В разі необхідності для більшої наочності знайти значення даних густин розподілу для додаткових значень ознаки й прогнозованого параметра, не зазначених вище у відповідних розділах завдання.

3.17. Відзначити в системі координат (див. п. 3.16) порогове значення прогнозованого параметра й порогове значення ознаки. Дати геометричне тлумачення наступним ймовірностям: P(К₁), P(К₂), P(ріш К₁), P(ріш К₂), P(К₁/ріш К₂), P(К₂/ріш К₁), P(ріш К₁/К₂), P(ріш К₂/ріш К₁).

3.18. Показати в системі координат (див. п.п. 3.16, 3.17) області, які відносяться до екземплярів, що фактично належать до класів К₁ і К₂, а також області, які належать екземплярам, щодо яких ухвалене рішення про віднесення до указаних класів.

3.19. Задане порогове значення прогнозованого параметра й знайдене порогове значення ознаки ділять площину ознаки та параметра на чотири області. Імовірність того, що екземпляр буде характеризуватися визначеними значеннями ознаки й прогнозованого параметра (у цьому випадку екземпляр буде належати одній із чотирьох областей) відповідає ймовірності спільного наступу двох подій – екземпляр фактично належить до визначеного класу (К₁ або К₂) і ухвалене рішення про його віднесення до якого-небудь класу (К₁ або К₂). Співвіднесіть зазначені ймовірності з кожною із чотирьох областей.

ЗМІСТ ЗВІТУ

4.1. Сформульована мета роботи.

4.2. Алгоритм і програма процедури вирішення задачі індивідуального прогнозування методом оптимальної класифікації.

4.3. Роздруківки результатів роботи програми.

4.4. Рисунок, що представляє взаємне розташування безумовних і умовних густин розподілу ознаки й прогнозованого параметра (див. п.п. 3.16, 3.17, 3.18, 3.19)

4.5. Аналіз отриманих результатів і висновки.

КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ

1. Яку інформацію повинен мати дослідник для вирішення задачі індивідуального прогнозування методами теорії статистичної класифікації?

2. Як можна визначити апріорні імовірності приналежності даного екземпляра до визначеного класу?

3. У чому полягає задача індивідуального прогнозування методами теорії статистичної класифікації? У якому випадку доцільно ставити цю задачу?

4. Якими співвідношеннями пов'язані між собою умовні спільні густини розподілу ознак за умови, що екземпляр належить до даного класу, і спільна густина розподілу ознак і прогнозованого параметра?

5. Дайте характеристику ризиків виробника й споживача та інших ймовірностей прийняття помилкових рішень при оптимальній класифікації.

6. У чому полягає критерій Байєса?

7. Яким чином можна мінімізувати середній ризик (середні втрати) при розпізнаванні?

8. Що називається відношенням правдоподібності?

9. Сформулюйте алгоритм оптимальної класифікації.

10. Як параметри спільного розподілу впливають на імовірності прийняття помилкових рішень при оптимальній класифікації?

11. Зобразіть графічно взаємне розташування безумовних і умовних густин розподілу для індивідуального прогнозування методом оптимальної класифікації за однією ознакою. За допомогою цього малюнка дайте графічну інтерпретацію ймовірностей прийняття правильних і помилкових рішень.