Непрерывные случайные величины

● Функция распределения и функция плотности непрерывной случайной величины

88. Случайная величина  имеет функцию распределения . Найдите плотность вероятности  случайной величины .

89. Случайная величина  имеет функцию распределения . Найдите плотность вероятности  случайной величины .

90. Случайная величина  имеет функцию распределения . Найдите плотность вероятности  случайной величины .

91. Распределение непрерывной случайной величины  задано плотностью вероятности . Найдите плотность вероятности  случайной величины .

92. Случайная величина  имеет плотность вероятности . Найдите плотность вероятности  случайной величины .

93. Случайная величина  имеет плотность вероятности  Найдите константу  и вероятность .

94. Функция плотности вероятности случайной величины  имеет вид . Найдите константу  и вероятность .

95. Функция плотности вероятности случайной величины  имеет вид . Найдите константу  и вероятность  .

96. Плотность вероятности случайной величины  имеет вид . Найдите  и .

● Равномерное распределение на отрезке

97. Случайная величина  равномерно распределена на отрезке . Найдите вероятность .

98. Случайная величина  равномерно распределена на отрезке . Найдите вероятность .

99. Случайные величины  независимы и равномерно распределены на отрезке . Найдите математическое ожидание .

100. Случайная величина  имеет равномерное распределение на отрезке  Найдите коэффициент корреляции случайных величин  и

101. Случайная величина  равномерно распределена на отрезке . Найдите математическое ожидание .

102. Случайная величина  равномерно распределена на отрезке . Найдите дисперсию .

103. Случайная величина  равномерно распределена на отрезке . Найдите .

104. Случайная величина  равномерно распределена на отрезке . Найдите .

105. Найдите математическое ожидание и дисперсию произведения независимых случайных величин  и  с равномерными законами распределения:  – на отрезке ,  – на отрезке .

106. Случайные величины  и  независимые и равномерно распределены на отрезках:  – на отрезке ,  – на отрезке . Найдите .

● Показательное распределение

107. Случайные величины  и  независимые и распределены по показательному закону, причём , . Найдите .

108. Случайные величины независимы и распределены по показательному закону. Найдите , если .

109. Случайная величина  распределена по показательному закону. Найдите математическое ожидание , если дисперсия .

110. Случайная величина распределена по показательному закону. Найдите математическое ожидание , если дисперсия .

111. Случайная величина  распределена по показательному закону. Найдите вероятность , если .

● Нормальное распределение на прямой

112. Для нормальной случайной величины  с математическим ожиданием  и дисперсией  найдите вероятность .

113. Случайная величина  имеет нормальное распределение с параметрами  и . Найдите вероятность попадания  в интервал .

114. Для нормальной случайной величины  известно, что математическое ожидание  и вероятность  Найдите дисперсию .

115. Для нормальной случайной величины  известно, что дисперсия  и вероятность . Найдите математическое ожидание .

116. Для нормальной случайной величины  с математическим ожиданием  и дисперсией  найдите вероятность .

117. Математические ожидания и дисперсии независимых нормальных случайных величин  равны 1. Найдите вероятность .

118. Для нормальной случайной величины  с математическим ожиданием  и дисперсией  найдите вероятность .

119. Для независимых нормальных случайных величин ,  известны их математические ожидания и дисперсии: , , , . Найдите вероятность .

120. Независимые нормальные случайные величины  имеют одинаковые параметры: , , . Для случайной величины  найдите вероятность .

121. Для нормальной случайной величины  с математическим ожиданием  и дисперсией  найдите вероятность .

122. Случайные величины  и  независимые и распределены по нормальному закону, причём , . Найдите .

Случайные векторы

● Двумерные дискретные случайные векторы

123. Найдите распределение случайной величины  и , если известно распределение случайного дискретного вектора :

124. Для случайного дискретного вектора , распределенного по закону

выясните, зависимы или нет события  и .

125. Для случайного дискретного вектора , распределенного по закону

выясните, зависимы или нет события  и .

126. Распределение случайного вектора  задается таблицей

Найдите  так, чтобы коэффициент корреляции случайных величин  и  был равен  

127. Найдите распределение случайной величины  и , если известно распределение случайного дискретного вектора :

M(Z)=1*1/8+2*5/12+3*7/24+4*1/6=2.5

128. Для случайного дискретного вектора , распределенного по закону

выясните, зависимы или нет события  и .

129. Найдите распределение случайной величины  и , если известно распределение дискретного случайного вектора :

M(Z)=-3*1/3-2*5/12-1*1/4=-25/12

130. Для случайного дискретного вектора , распределенного по закону

выясните, зависимы или нет события  и .

131. Найдите распределение случайной величины  и , если известно распределение дискретного случайного вектора :

M(Z)=5*13/24+6*1/3+7*1/8=67/12

132. Найдите распределение случайной величины  и , если известно распределение дискретного случайного вектора  :

M(Z)=1/3-1/4=1/12

133. Для случайного дискретного вектора , распределенного по закону

выясните, зависимы или нет события  и .

134. Для случайного дискретного вектора , распределенного по закону

выясните, зависимы или нет события  и .

135. Найдите распределение случайной величины  и , если известно распределение дискретного случайного вектора :

M(Z)=1*1/6+2*1/12=1/3

136. Найдите распределение случайной величины  и , если известно распределение дискретного случайного вектора :

M(Z)=-2*3/24+-1*7/8=-9/8

137. Найдите , , , , ,  и  для случайного дискретного вектора , распределенного по закону

● Условные дискретные распределения

138. Дискретный случайный вектор  задан распределением

Найдите условное математическое ожидание .

	-1	0	-1	0
P	1/12:19/24=2/19	1/4:19/24=6/19	5/24:19/24=5/19	1/4:19/24=6/9

139. Дискретный случайный вектор  задан распределением

Найдите условное математическое ожидание .

	2	3	2	3
P	1/12:9/24=2/9	5/24:9/24=5/9	0:9/24=0	1/12:9/24=2/9

140. Дискретный случайный вектор  задан распределением

Найдите условное математическое ожидание .

P(X+Y=5)=1/4+1/8=3/8

M(Y|X+Y=5)=2*1/3+3*2/3=2+2/3

141. Дано: . Найдите .

Z=M(Y|X)

M(Y)=M(Z)=2*0.4+3*0.6=0.8+1.8=2.6

142. Дано: . Найдите .

M(XY)=M(X*M(Y|X))

M(XY)=20*0.4*3+80*0.6*1=24+48=72

143. Дано: . Найдите .

Cov(X;Y)=M(XY)-M(X)M(Y)

M(X)=40*0.2+70*0.8=8+56=64

M(Y)=40*0.2*1+70*0.8*1=64

Cov(X;Y)=64-64=0

144. Дано:  и  Найдите .

M(Z)=0.1*9+0.9*8=8.1

145. Дано: . Найдите .

Z=M(Y|X)

D(Z)=M(Z²)-(M(Z))²

M(Z)=0.6*2+0.4*2=2

M(Z²)=4*0.6+4*0.4=4

D(Z)=4-4=0

146. Дано:  и  Найдите .

Z=M(Y|X)

V=D(Y|X)

● Двумерные непрерывные случайные векторы

147. Случайный вектор ( ) имеет плотность распределения  Найдите константу  и  

148. Случайный вектор ( ) имеет плотность распределения  Найдите константу  и  

149. Случайный вектор ( ) имеет плотность распределения  Найдите константу  и  

150. Случайный вектор ( ) имеет плотность распределения  Найдите константу  и .

151. Случайный вектор ( ) имеет плотность распределения  Найдите константу  и .

152. Случайный вектор ( ) имеет плотность распределения  Найдите константу  и .