Дискретные случайные величины

● Закон распределения случайной величины

43. Случайная величина  принимает только целые значения . При этом вероятности возможных значений  пропорциональны значениям: . Найдите значение константы  и вероятность .

C(1+2+…+28)=1

44. Случайная величина  принимает только целые неотрицательные значения . При этом . Найдите значение константы  и вероятность .

● Независимые дискретные случайные величины

45. Независимые дискретные случайные величины  принимают только целые значения:  – от  до  с вероятностью ,  – от  до  с вероятностью . Найдите вероятность .

46. Независимые случайные величины  принимают только целые значения:  – от  до  с вероятностью ,  – от  до  с вероятностью . Найдите вероятность .

47. Независимые случайные величины  принимают только целые значения:  – от  до  с вероятностью ,  – от  до  с вероятностью . Найдите вероятность .

48. Независимые случайные величины  принимают только целые значения:  – от  до  с вероятностью ,  – от  до  с вероятностью . Найдите вероятность .

49. Независимые случайные величины  и  принимают только целые значения:  – от  до ,  – от  до . Найдите , если известно, что возможные значения  и  равновероятны.

50. Независимые случайные величины  принимают только целые значения:  – от  до  с вероятностью ,  – от  до  с вероятностью . Найдите .

51. Независимые случайные величины  принимают только целые значения от  до . Найдите вероятность , если известно, что все возможные значения равновероятны.

52. Независимые случайные величины  принимают только целые значения:  – от  до  с вероятностью ,  – от  до  с вероятностью ,  – от  до  с вероятностью . Найдите вероятность того, что  примут разные значения.

53. Независимые случайные величины  принимают только целые значения:  – от  до  с вероятностью ,  – от  до  с вероятностью ,  – от  до  с вероятностью . Найдите вероятность .

● Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины

54. Распределение дискретной случайной величины  задано таблицей

Найдите математическое ожидание  и вероятность .

55. Дискретная случайная величина  принимает только целые значения , каждое с вероятностью . Найдите математическое ожидание  и вероятность .

56. Распределение дискретной случайной величины  задано таблицей

Найдите дисперсию .

57. Распределение случайной величины  задано таблицей

Найдите математическое ожидание , среднее квадратичное отклонение  и вероятность .

58. Для случайной величины  известно, что .  Найдите дисперсию .

59. Независимые дискретные случайные величины  могут принимать только значения  и . При этом , . Найдите математическое ожидание .

60. Независимые дискретные случайные величины  могут принимать только значения  и . При этом , . Найдите математическое ожидание .

61. Дискретные случайные величины  распределены по закону, заданному таблицей

Найдите математическое ожидание .

62. Независимые случайные величины  принимают только целые значения . Найдите математическое ожидание , если известно, что возможные значения равновероятны.

63. Для независимых случайных величин  известно, что их математические ожидания , дисперсии , . Найдите дисперсию произведения .

64. Независимые случайные величины  могут принимать только значения  и . При этом , . Найдите математическое ожидание .

65. Независимые случайные величины  могут принимать только значения  и . При этом , . Найдите математическое ожидание .

66. Вероятность выигрыша  рублей в одной партии равна , вероятность проигрыша  рублей равна . Найдите дисперсию капитала игрока после  партий.

● Основные дискретные законы распределения и их характеристики

67. На плоскости начерчены две окружности, радиусы которых  и  соответственно. Меньшая окружность содержится внутри большего круга. В большой круг наудачу бросают  точек. Пусть случайная величина  – число точек, попавших в малый круг. Вычислите математическое ожидание  и дисперсию .

68. Производится  независимых испытаний, состоящих в том, что одновременно подбрасываются  монет. Пусть  – число испытаний, в которых выпало  герба. Найдите математическое ожидание .

 – число испытаний, в которых выпало  герба.

69. Случайные величины  распределены по биномиальному закону с параметрами  и . Найдите математическое ожидание .

70. Случайные величины  независимы и распределены по биномиальному закону с параметрами  и . Найдите математическое ожидание .

71. Отрезок длины  поделен на две части длины  и  соответственно. Наудачу  точек последовательно бросают на отрезок.  – случайная величина, равная числу точек, попавших на отрезок длины . Найдите математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение величины .

72. Производится  независимых испытаний, в каждом из которых подбрасываются  игральные кости. Пусть  – число испытаний, в которых все выпавшие цифры оказались . Найдите дисперсию .

73. Производится  независимых испытаний с вероятностью успеха  в каждом испытании. Пусть  – число успехов в испытаниях с номерами ,  – число успехов в испытаниях с номерами . Найдите дисперсию .

U- число успехов в испытаниях с номерами 1,2,3,4

V- число успехов в испытаниях с номерами 5,6,7

W- число успехов в испытаниях с номерами 8.9.10.

Каждая из величин имеет биномиальное распределение

74. На плоскости начерчены два квадрата, стороны которых  и  соответственно. Меньший квадрат содержится внутри большего квадрата. В большой квадрат случайным образом бросают точки до тех пор, пока не попадут в маленький квадрат. Пусть случайная величина  – число бросаний. Найдите математическое ожидание  и дисперсию .

Геометрическое распределение

75. В спортивной лотерее каждую неделю на 100 билетов разыгрывается  палаток и  рюкзаков. Турист решил каждую неделю покупать по одному билету до тех пор, пока он не выиграет палатку и рюкзак. Найдите среднее время реализации данного намерения (время измеряется в неделях).

T-время ожидания

T=T1+T2

T1, T2-независимы

Т1-время ожидания 1-го выигрыша

Т2-время ожидания др. выигрыша

76. В серии независимых испытаний, которые проводятся с частотой одно испытание в единицу времени, вероятность наступления события  в одном испытании равна . Пусть  – время ожидания наступления события  раз (за все время ожидания). Найдите математическое ожидание  и дисперсию .

Ti-время ожидания от (i-1)-ого до i-ого события

Геометрическое распределение

77. Случайные величины  распределены по геометрическому закону с одинаковым математическим ожиданием, равным . Найдите математическое ожидание .

78. Случайные величины независимы  и распределены по геометрическому закону с одинаковым математическим ожиданием, равным . Найдите математическое ожидание .

79. Случайные величины  распределены по геометрическому закону. Найдите дисперсию , если их математические ожидания равны , а коэффициент корреляции  и  равен .

80. Случайная составляющая выручки равна , где  – биномиальная случайная величина с параметрами  и . Случайная составляющая затрат имеет вид , где  – пуассоновская случайная величина. Найдите дисперсию прибыли, считая, что  и  – независимы, а .

81. Для пуассоновской случайной величины  отношение . Найдите математическое ожидание .

● Ковариация и коэффициент корреляции

82. Даны математические ожидания случайных величин  и : , , их дисперсии ,  и ковариация Cov . Найдите математическое ожидание  и дисперсию .

83. Случайные величины  принимают только значения  и . Найдите дисперсию , если вероятности , а коэффициент корреляции  и  равен .

84. Для случайных величин  даны их математические ожидания и дисперсии , , а также коэффициент корреляции . Найдите математическое ожидание .

85. Случайные величины  распределены по закону Пуассона с одинаковым математическим ожиданием, равным . Найдите математическое ожидание .

86. Случайные величины  независимы и распределены по закону Пуассона с одинаковым математическим ожиданием, равным . Найдите математическое ожидание .

87. Случайные величины  распределены по закону Пуассона. Найдите , если  и , а коэффициент корреляции  и  равен .