Метод определения внутренних усилий

       Рассмотрим тело, имеющее форму стержня и находящееся в покое под действием некоторой системы внешних сил. В данную систему сил в общем случае могут входить как активные (заданные) силы, так и пассивные силы (реакции внешних связей). Если число компонент реакций внешних связей не превышает числа независимых уравнений равновесия, то задача по отысканию внутренних усилий оказывается статически определимой задачей. В противном случае задача является статически неопределимой.

       Суть метода по отысканию внутренних усилий, называемого методом сечений, можно пояснить на примере прямого стержня  (рис. 1.9). Мысленно рассечём стержень  на две части ,  произвольной плоскостью. Выберем декартову систему координат , ,  с началом в центре тяжести сечения . Оси ,  расположим в плоскости сечения, а ось  направим по внешней нормали  сечения одной из частей, например части  (рис. 1.9, а). В согласии с выбранным направлением оси  и для удобства дальнейшего изложения условно будем называть часть левой частью стержня, а часть  – правой частью стержня.

       Поскольку до рассечения обе части взаимодействовали друг с другом, действие одной части на другую следует заменить поверхностными силами, распределёнными в плоском сечении по некоторому закону (рис. 1.9, б). Согласно третьему закону Ньютона (закону действия и противодействия) в каждой точке сечения поверхностные силы, действующие на левую часть  со стороны правой части , равны и противоположны по направлению поверхностным силам, действующим на правую часть  со стороны левой части . Эти поверхностные силы являются для стержня  внутренними силами, а для каждой из частей ,  – внешними силами.Так как , нормальные и касательные напряжения в сечениях левой и правой частей равны по величине и противоположно направлены. По отношению к единой (для обеих частей стержня) декартовой системе координат , ,  это означает, что:

, ,        .

Следовательно, интегральные характеристики напряжений (1.9), соответствующие каждой из частей, также имеют противоположные знаки:

                     (1.10)

Иными словами, в сечениях обеих частей стержня соответствующие интегральные характеристики напряжений равны по величине и противоположны по направлению (рис. 1.9, в).

       После рассечения и приложения поверхностных сил обе части стержня становятся свободными телами, находящимися в состоянии покоя. Это позволяет составить две системы уравнений равновесия для каждой из частей стержня в отдельности. Для части  имеем

(1.11)

Соответственно для части

(1.12)

       Понятно, что обе части стержня – левая часть  и правая часть  – абсолютно равноправны. Поэтому в качестве внутренних силовых факторов в данном сечении стержня  можно взять как величины , , , , , , так и величины , , , , , . Это вопрос простого соглашения. Посему за внутренние силовые факторы в данном сечении стержня принимаем значения интегральных характеристик напряжений для той части стержня, которая расположена слева от этого сечения (т.е. для части ):

                             (1.13)

Рис. 1.9. Определение внутренних усилий методом сечений

Благодаря равенствам (1.10), (1.13) из уравнений (1.11), (1.12) получаем две группы расчётных формул: