Поток заявок, обладающий стационарностью, ординарностью и отсутствием последействия, называется простейшим потоком.

Днепропетровск

2011

Работа 1. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА ЗАЯВОК СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

Цель работы.Освоить методику решения основной задачи простейшего потока заявок и компьютерную технологию ее реализации

Содержание и порядок выполнения работы

1. Изучить входящий поток заявок и его свойства.

2. Записать задачи и исходные данные своего варианта.

3. Подготовить размещение информации на рабочем листе электронной таблицы (ЭТ).

4. На компьютере в среде ЭТ выполнить требуемые расчеты.

5. Выполнить анализ полученных результатов.

Краткие сведения из теории

Система массового обслуживания (СМО) состоит из некоторого количества обслуживающих единиц, которые принято называть каналами обслуживания. В качестве каналов обслуживания могут быть лица, выполняющие определенные операции, станки, поточные линии, различные приборы и пр. СМО могут быть одно- и многоканальными.

Работа любой СМО заключается в обслуживании поступающего в нее потока заявок. В качестве заявок могут быть:

· вызовы в аварийную службу на устранение неисправностей оборудования (водо- и газоснабжения и др.);

· детали, поступающие на обработку или контроль;

· станки, нуждающиеся в ремонте, наладке или переналадке;

· транспорт, подаваемый под загрузку выпускаемой продукции;

· и др.

Заявки поступают одна за другой в некоторые случайные моменты времени. Обслуживание поступившей заявки продолжается какое-то время, после чего канал освобождается и снова готов к приему следующей заявки. Каждая СМО в зависимости от числа каналов и их производительности обладает определенной пропускной способностью, позволяющей ей более или менее успешно справляться с потоком заявок.

Процесс функционирования СМО является случайным процессом. Чтобы дать рекомендации по рациональной организации системы, выяснить ее пропускную способность и предъявить к ней обоснованные требования, необходимо изучить случайный процесс, протекающий в системе, и описать его математически. Этим занимается теория массового обслуживания (ТМО).Предметом ТМО является установление зависимости между характером потока заявок, производительностью отдельного канала, числом каналов и эффективностью обслуживания.

В качестве характеристик эффективности обслуживания– в зависимости от условий задачи и целей исследования – могут применяться различные переменные и функции:

¨ среднее время ожидания в очереди;

¨ среднее время простоя отдельных каналов и системы в целом;

¨ средний процент заявок, получающих отказ и покидающих систему без обслуживания;

¨ закон распределения длины очереди;

¨ вероятность того, что поступившая заявка немедленно будет принята к обслуживанию;

¨ и др.

Каждая из этих характеристик описывает степень приспособленности системы к обслуживанию, т.е. пропускную способность. Обычно под абсолютной пропускной способностью понимают среднее число заявок, которое система может обслужить в единицу времени. На практике часто рассматривают относительную пропускную способность – среднее отношение числа обслуженных заявок к числу поступивших.

Пропускная способность зависит не только от параметров системы, но и от характера потока заявок.

Поток заявок называется регулярным, если заявки поступают в систему через строго определенные промежутки времени. На практике такие потоки встречаются очень редко.

Поступающие в систему заявки образуют входящий поток, а покидающие систему (обслуженные или не обслуженные) заявки – выходящий поток. Поток может быть стационарным или нестационарным. Стационарным называется поток, вероятностные характеристики которого не зависят от времени. Стационарный поток имеет постоянную плотность (интенсивность) – среднее число заявок в единицу времени. Если для любых, не перекрывающихся отрезков времени число заявок, поступивших в течение одного из них, не зависит от числа заявок, поступивших в другие отрезки времени, то такой поток называется потоком без последействия.

Поток называется ординарным, если заявки поступают по одной.

Поток заявок, обладающий стационарностью, ординарностью и отсутствием последействия, называется простейшим потоком.

Четвертое свойство простейшего потока– вероятность поступления в течение промежутка времени длительности  ровно  заявок принимает наибольшее значение в момент времени

Основная задача исследования простейшего потока –найти вероятность поступления заявок на интервале , т.е.

Случайная величина  - число заявок, поступающих на интервал времени  - имеет закон распределения Пуассона с параметром

Расчетные формулы

¨ Вероятность того, что за время  поступит ровно  заявок, равна

¨ Вероятность того, что за время  не поступит ни одной заявки, равна

¨ Вероятность того, что за время  поступит хотя бы одна заявка, равна

Среднее число заявок, поступивших за время ,

Условия задач

Задача 1.В аварийную службу поступают вызовы с плотностью  вызовов в сутки. Считая, что входящий поток вызовов является простейшим, определить вероятность того, что за  часов:

· не поступит ни одного вызова;

· поступит хотя бы один вызов;

· поступит ровно два вызова;

· поступит ровно три вызова;

· поступит ровно четыре вызова;

· поступит один или два вызова;

· поступит более двух вызовов.

Кроме того, для данных своего варианта проверить четвертое свойство простейшего потока вызовов.

Задача 3.В качестве входящего потока рассматривается поток, состоящий из заявок на обслуживание станков. Станок остановился - поступила заявка на обслуживание. Обслуживание состоит в устранении причины остановки станка. Поток заявок на обслуживание станков является простейшим и имеет плотность заявок в час. Рассчитать вероятность отказа в течение времени  час различного количества станков ( . Построить график этой вероятности.

Задача 4.Поток, состоящий из заявок на обслуживание станков, является простейшим. Среднее время обслуживания одного станка задано. Определить вероятность того, что за время остановится не меньше двух станков. Рассчитать вероятность того, что за время остановится 2, 3, …, 6 станков. Плотность потока заявок на обслуживание взять из задачи 3. Построить соответствующий график.

Методика решения задач

Задача 1.Пустьµ =4 вызова в сутки и количество часов  =16.

1. Определить плотность вызовов в час. В данном случае имеем

 µ1= µ/24=1/6

2. Определить среднее число заявок a= µ1*t=1/6*16=2.667

3. Последовательно рассчитать в среде ЭТ требуемые вероятности по формулам:

· вероятность того, что за 16 часов будут поступать один или два вызова, равна сумме

· вероятность того, что за 16 часов поступит более двух вызовов, определяется по формуле

Расчет при t=16 является контрольным. Размещение информации представлено на рис.1.

4. Определить время достижения вероятностью своего максимального значения в соответствии с 4-м свойством простейшего потока заявок -

5. Выполнить расчет вероятностей, приведенных в пункте 3, для построения графиков вероятностей, иллюстрирующих четвертое свойство простейшего потока заявок. При назначении диапазона изменения времени ориентироваться по значениям и времени контрольного расчета.

6. Построить графики вероятностей с помощью мастера диаграмм.

7. Выполнить анализ полученных результатов.

Расчетные формулы представлены в таблице 1, результаты расчета на рис. 1-3.

                                     Таблица 1. Расчетные формулы

	A	B	C	D	E	F	G
1		t		a
2	4	16	=a2/24	=c2*b2	=EXP(-d2)	=1-e2
3			0	1	2	3	4
4		P(t)=	=*
5			=c3/$c$2
6			=d4+e4		=1-(c4+c6)
7	t	a
8	5	=$c$2*a8	=*
9	10
…
18
19
20	5	=d8+e8	=1-(c8+b20)
21	10
22
…
30

Примечания.1. В ячейку С4 записана формула =$d$2^c3*EXP(-$d$2)/ФАКТР(c3), в ячейку С8 - =$b8^c$3*EXP(-$b8)/ФАКТР(c$3).

2. Стрелки и означают копирование в эти ячейки.

                                Размещение информации на рабочем листе ЭТ

Иллюстрация 4-го свойства простейшего потока вызовов