Необходимый и достаточный признаки локального экстремума.

Теорема Ферма. Если функция имеет локальный экстремум в точке и дифференцируема в этой точке, то .

Необходимое условие экстремума:

Если точка — точка экстремума функции , то она критическая.

Доказательство

По условию точка — точка экстремума функции по теореме Ферма производная точка является критической.

Первое достаточное условие экстремума в терминах первой производно:

Пусть функция определена и дифференцируема в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой точки и непрерывна в этой точке. Тогда:

Если производная меняет знак с «-» на «+» при переходе через точку : и , то — точка строго минимума функции

Если производная меняет знак с «+» на «-» при переходе через точку : и , то — точка строго максимума функции

Второе достаточное условие строгого экстремума в терминах второй производной:

Пусть дана функция , она определена в некоторой окрестности точки , ее первая производная и пусть , тогда:

Если , то точка — точка строгого минимума;

Если , то точка — точка строгого максимума.

Третье достаточное условие строгого экстремума в терминах производных порядка больше двух:

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , и в этой точке существуют производные до n-го порядка пусть , и , Тогда:

1. Если (т.е — четное), то — точка экстремума:

· если , то — точка локального максимума;

· если , то — точка локального минимума;

2. Если (т.е — нечетное), то — не является точкой экстремума.

Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

Если функция определена и непрерывна на отрезке , то она на этом отрезке достигает своих наибольшего и наименьшего значений.

Если свое наибольшее значение функция принимает в точке , то будет локальным максимумом функции , так как в этом случае существует окрестность точки , такая, что . Чтобы найти наибольшее значение непрерывной на отрезке функции , надо найти все максимумы функции на интервале и значения на концах отрезка , то есть и , и выбрать среди них наибольшее.

Наименьшим значением непрерывной на отрезке функции будет наименьший минимум среди всех минимумов функции на интервале и значений и .

Выпуклость, вогнутость кривой. Точки перегиба кривой.

График функции , дифференцируемой на интервале , является на этом интервале выпуклым, если график этой функции в пределах интервала лежит не выше любой своей касательной.

График функции , дифференцируемой на интервале , является на этом интервале вогнутым, если график этой функции в пределах интервала лежит не ниже любой своей касательной.

Точкой перегиба графика функции называется точка , разделяющая промежутки выпуклости и вогнутости.

Асимптоты графика функции.

1. Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы одно из предельных значений или равно или .

· Замечание. Прямая не может быть вертикальной асимптотой, если функция непрерывна в точке . Поэтому вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции.

2. Прямая называется горизонтальной асимптотой графика функции , если хотя бы одно из предельных значений или равно .

· Замечание. График функции может иметь только правую горизонтальную асимптоту или только левую.

3. Прямая называется наклонной асимптотой графика функции , если

Нахождение наклонной асимптоты

Теорема. Если для функции существуют пределы и , то функция имеет наклонную асимптоту при .