Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Необходимый и достаточный признаки локального экстремума.
Теорема Ферма. Если функция имеет локальный экстремум в точке и дифференцируема в этой точке, то . Необходимое условие экстремума: Если точка — точка экстремума функции , то она критическая. Доказательство По условию точка — точка экстремума функции по теореме Ферма производная точка является критической.
Первое достаточное условие экстремума в терминах первой производно: Пусть функция определена и дифференцируема в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой точки и непрерывна в этой точке. Тогда: Если производная меняет знак с «-» на «+» при переходе через точку : и , то — точка строго минимума функции Если производная меняет знак с «+» на «-» при переходе через точку : и , то — точка строго максимума функции
Второе достаточное условие строгого экстремума в терминах второй производной: Пусть дана функция , она определена в некоторой окрестности точки , ее первая производная и пусть , тогда: Если , то точка — точка строгого минимума; Если , то точка — точка строгого максимума.
Третье достаточное условие строгого экстремума в терминах производных порядка больше двух: Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , и в этой точке существуют производные до n-го порядка пусть , и , Тогда: 1. Если (т.е — четное), то — точка экстремума: · если , то — точка локального максимума; · если , то — точка локального минимума; 2. Если (т.е — нечетное), то — не является точкой экстремума.
Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке. Если функция определена и непрерывна на отрезке , то она на этом отрезке достигает своих наибольшего и наименьшего значений. Если свое наибольшее значение функция принимает в точке , то будет локальным максимумом функции , так как в этом случае существует окрестность точки , такая, что . Чтобы найти наибольшее значение непрерывной на отрезке функции , надо найти все максимумы функции на интервале и значения на концах отрезка , то есть и , и выбрать среди них наибольшее. Наименьшим значением непрерывной на отрезке функции будет наименьший минимум среди всех минимумов функции на интервале и значений и .
Выпуклость, вогнутость кривой. Точки перегиба кривой. График функции , дифференцируемой на интервале , является на этом интервале выпуклым, если график этой функции в пределах интервала лежит не выше любой своей касательной. График функции , дифференцируемой на интервале , является на этом интервале вогнутым, если график этой функции в пределах интервала лежит не ниже любой своей касательной. Точкой перегиба графика функции называется точка , разделяющая промежутки выпуклости и вогнутости.
Асимптоты графика функции. 1. Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы одно из предельных значений или равно или . · Замечание. Прямая не может быть вертикальной асимптотой, если функция непрерывна в точке . Поэтому вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции.
2. Прямая называется горизонтальной асимптотой графика функции , если хотя бы одно из предельных значений или равно . · Замечание. График функции может иметь только правую горизонтальную асимптоту или только левую.
3. Прямая называется наклонной асимптотой графика функции , если Нахождение наклонной асимптоты Теорема. Если для функции существуют пределы и , то функция имеет наклонную асимптоту при .
|
||
Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 272. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |