Необходимый и достаточный признаки возрастания и убывания функции.

Правила дифференцирования. Таблица производных. Производная сложной и неявно заданной функции. Логарифмическая производная.

(Правила и таблицу скинула тебе в картинках)
Если независимая переменная и функция связаны уравнением вида , которое не разрешено относительно , то функция называется неявной функцией переменной .

1. Продифференцировать обе части уравнения по независимой переменной , предполагая, что – это дифференцируемая по  функция. Для нахождения производной используется правило вычисления производной от сложной функции. В правой части равенства получаем 0, как производную от константы.

2. Решить полученное уравнение относительно производной .

Если y=f(u), где u=u(x), то есть y — сложная функция, то производная сложной функции находится по следующему правилу: y’=f'(u)·u'(x), то есть производную внешней функции f надо умножить на производную внутренней функции u.

Дифференциал функции, его геометрический смысл. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.

Дифференциалом функции называется линейная относительно часть приращения функции. Она обозначается как или . Таким образом:

Геометрический смысл. Дифференциал функции в точке равен приращению ординаты касательной, проведенной к графику функции в этой точке, соответствующему приращению аргумента .

Для приближенного вычисления значения функции применяется следующая формула:

Основные теоремы дифференциального исчисления.

Теорема Ферма. (О равенстве нулю производной)

Пусть функция удовлетворяет следующим условиям:

– она дифференцируема на интервале ;

– достигает наибольшего или наименьшего значения в точке .

Тогда производная в этой точке равна нулю, то есть .

Теорема Ролля. (О нуле производной функции, принимающей на концах отрезка равные значения)

Пусть функция

– непрерывна на отрезке ;

– дифференцируема на интервале ;

– на концах отрезка принимает равные значения .

Тогда на интервале найдется, по крайней мере, одна точка , в которой .

Теорема Лагранжа. (О конечных приращениях)

Пусть функция

–непрерывна на отрезке ;

–дифференцируема на интервале .

Тогда на интервале найдется по крайней мере одна точка , такая, что

.

Теорема Ролля есть частный случай теоремы Лагранжа, когда .

Теорема Коши. (Об отношении конечных приращений двух функций)

Если функции и :

непрерывны на отрезке ;

дифференцируемы на интервале ;

производная на интервале ,

тогда на этом интервале найдется по крайней мере одна точка , такая, что

.

Если производная функции равна нулю на некотором промежутке, то функция является постоянной на этом промежутке.

Ема

Если две функции имеют равные производные на некотором промежутке, то они на этом промежутке отличаются друг от друга на некоторое слагаемое.

Необходимый и достаточный признаки возрастания и убывания функции.

    Необходимое условие возрастания функции. Если функция y = f(х) дифференцируема и возрастает на интервале [а, b], то f '(х) > 0 для всех х из этого интервала.
     Необходимое условие убывания функции. Если функция у = f(х) дифференцируема и убывает на интервале [а, b], то f(х)<0 для всех х из этого интервала.
    Достаточное условие возрастания (убывания функции). Пусть функция у = f(x) дифференцируема на интервале [а, b], Если во всех точках этого интервала f(x)>0, то функция возрастает на этом интервале, а если f(х)<0, то функция убывает на этом интервале.