ОСОБЫЕ СЛУЧАИ НЕСИММЕТРИИ В ТРЁХФАЗНЫХ ЦЕПЯХ

Рассматриваются простейшие трёх- и четырёхпроводные цепи генератор-приёмник с соединением фаз приёмника и генератора в звезду и треугольник. К особым случаям несимметрии относят обрывы проводов и фаз, короткие замыкания фаз, если исходная схема работает в симметричном режиме. В этом случае цепь перестаёт быть симметричной, однако имеет место ряд особенностей, облегчающих расчёт.

ЗАДАЧА 4.21. Для симметричной трёхфазной системы «звезда-звезда без нулевого повода» (рис. 4.27,а) рассчитать режимы работы следующих случаев:   - симметричный режим;

- обрыв линейного провода А;

- короткое замыкание фазы А.

Параметры схемы: U = 380 В, r = x = 20 Ом.

Решение

На рис. 4.27,б приведена векторная диаграмма симметричного режима системы Y-Y. При этом напряжение между нулевыми точками симметричной системы U_N = 0.

Фазные ЭДС генератора и фазные напряжения приёмника

 E_A = U_A = = = 220 B; E_B = U_B = 220×e ^–j120° B; E_C = U_C = 220×e ^j120° B;

а также токи I_A = = = 7,78×e ^–j45° А;

I_В = I_A×e ^–j120° = 7,78×e ^–j165° А; I_С = I_A×e ^j120° = 7,78×e ^j75° А

образуют симметричные системы векторов.

При обрыве линейного провода А последовательно с сопротивлением этой фазы  Z = r + jx = 20 + j20 Ом    можно считать включенным дополнительное сопротивление обрыва Z_обр = ¥, при этом сопротивление ветви А становится равным Z_А = Z_обр + Z = ¥. Узловое напряжение (его называют напряжением смещения нейтрали)

U_N = = = - = - = -110 B.

При подсчёте учтено, что при обрыве провода А проводимость = = 0, отношение = = 0, и в симметричной системе

E_A + E_B + E_C º 0,    откуда  E_B + E_C = -E_A.

Напряжение на сопротивлении Z_А        U_A = E_A – U_N  = 1,5×E_A = 330 B

является напряжением между точками обрыва провода А, а ток оборванного провода I_A = = = 0.

Напряжения и токи неповреждённых фаз

U_B = E_B – U_N  = 220×e ^–j120° +110= -j190 B;   I_B = = = 6,72×e ^–j135° A;

U_C = E_C – U_N  = 220×e ^j120° +110= j190 B;     I_C = = = 6,72×e ^j45° A.

Заметим, что при обрыве линейного провода трёхфазная цепь превращается в однофазную, поэтому токи неповреждённых фаз можно найти и более простым способом: I_B = -I_C = = .

Сравнивая напряжения на фазах неповреждённых фаз при обрыве провода А (U_B = U_C = 190 В) и при работе в симметричном режиме, когда все напряжения U_A = U_B = U_C = 220 В, отмечаем уменьшение напряжения на 13,7%, что недопустимо для питания осветительной нагрузки.

Расчёт схемы при коротком замыкании фазы А осуществляется по общему правилу расчёта разветвлённой цепи с выполнением предельного перехода при Z_A ® 0:

U_N = = = E_A.

Напряжения и токи неповреждённых фаз

U_B = E_B – U_N  = E_B – E_A = -U_AB = -380×e ^j30° = 380×e ^–j150° B;

I_B = = = 13,44×e ^–j195° A;

U_C = E_C – U_N  = E_C – E_A = U_CB = 380×e ^j150° B;

I_C = = = 13,44×e ^j105° A.

Ток короткозамкнутой фазы

I_A = = = = -(I_B + I_C) = - I_C ×e ^j30°= -23,3×e ^j135°= 23,3×e ^–j45° A.

выражение для I_A получено из условия, что для трёхпроводной системы I_A + I_B + I_C = 0.

Векторная диаграмма цепи при коротком замыкании фазы А приведена на рис. 4.28,б.

ЗАДАЧА 4.22. Для симметричной системы «звезда-звезда с нулевым проводом» (Z_N  = 0) (рис. 4.29,а) выполнить расчёты для трёх случаев:

- симметричный режим;

- обрыв линейного провода В;

- короткое замыкание фазы В, если: U = 220 В,   Z = r = 20 Ом.

Решение

На рис. 4.29,б приведена векторная диаграмма для симметричного режима работы схемы, в которой   U_N = 0  из-за нулевого значения сопротивления  Z_N .

При этом фазные напряжения генератора и нагрузки одинаковы и в  раз меньше линейных напряжений: U_Ф = E = = = 127 B.

Примем E_A= U_Ф = 127 B, тогда E_B= 127×e ^-j120° B, E_С= 127×e ^j120° B;

При обрыве линейного провода B можно считать, что последовательно с сопротивлением Z в фазу B подключилось сопротивление обрыва Z_обр = ¥ и

полное сопротивление ветви стало Z_В = Z + Z_обр = ¥. 

По II закону Кирхгофа для контуров «ветвь – нулевой провод» получаем при обрыве провода B:

I_A = = = = 6,35 А – то же значение, что и при симметричном режиме,

I_В = = = = 0;

I_С = = = = 6,35×e ^j120° А – то же значение, что и при симметричном режиме.

Ток нулевого провода

I_N = I_A + I_В + I_С = 6,35 + 0 + 6,35×e ^j120° = -6,35×e ^-j120° = 6,35×e ^j60° А. 

Заметим, что I_N = -I_{В сим}.  По этому поводу говорят, что нулевой провод воспринимает на себя ток оборванной фазы. Векторная диаграмма цепи при обрыве провода B приведена на рис. 4.30.

ЗАДАЧА4.23. Рассчитать режим работы симметричного треугольника (рис. 4.31,а) при U = 660 В,  x_C = 100 Ом для четырёх случаев:

- симметричный режим;

- обрыв линейного провода С;

- обрыв фазы СZ;

- короткое замыкание фазы СZ.

Решение

Примем U_AB = U = 660 B.

При соединении фаз нагрузки в треугольник его линейные напряжения равны фазным напряжениям. В симметричном режиме получаем

U_AX = U_AB = 660 B, U_BY = U_BC = 660×e ^-j120° B, U_CZ = U_СA = 660×e ^j120° B.

Фазные токи треугольника

I_ах = = = j6,6 = 6,6×e ^j90° А;

I_by = = I_ах ×e ^–j120° = 6,6×e ^–j30° А; I_cz = = I_ах ×e ^j120° = 6,6×e ^j210° А.

Линейные токи треугольника

I_A = I_ах – I_cz = I_ах ×e ^–j30° = 11,4×e ^j60° А;

I_В = I_A×e ^–j120° = 11,4×e ^–j60° А; I_С = I_A×e ^j120° = 11,4×e ^j180° = -11,4 А.

Векторная диаграмма симметричного треугольника приведена на рис. 4.31,б. При обрыве линейного провода С все токи и напряжения нагрузки определяются только линейным напряжением U_AB.

Ток I_ах = = = j6,6 А - прежний.

Ток I_С = 0, так как провод С оборван, токи

I_by = I_cz = - = - = -j3,3 А,

напряжения на фазах U_ВY = U_СZ = I_by ×Z = - = -330 B.

Линейные токи I_A = I_ax – I_cz = 1,5×I_ax = j9,9 А;

I_В = I_by – I_ax = -1,5×I_ax = -j9,9 А.

Векторная диаграмма треугольника сопротивлений при обрыве линейного провода С приведена на рис. 4.32,а.

При обрыве фазы СZ её ток I_cz = 0, а токи фаз

I_ax = j6,6 А,    I_by = 6,6×e ^–j30° А   такие же, как и в симметричном режиме.

Линейный ток  I_A = I_ax – I_cz = I_ax = j6,6 А,  линейный ток    I_В = I_by – I_ax = 11,4×e ^–j60° А   тот же, что и в симметричном режиме, линейный ток  I_С = -I_by = 6,6×e ^j150° А.

Векторная диаграмма цепи при обрыве фазы СZ приведена на рис 4.32,б.

При коротком замыкании фазы СZ в контуре «А – короткозамкнутая фаза СZ – В – источник питания» нет сопротивлений, и ток неограниченно возрастает, создавая аварийный режим работы, что требует отключения от сети проводов А или С.

ЗАДАЧА4.24. Трёхфазный приёмник, фазы которого соединены в звезду, включен на напряжение 380 B. Мощность и коэффициент мощности приёмника  Р_ном = 11,9 кВт,  cosj = 0,72. Выполнить следующее:

- нарисовать схему цепи и определить сопротивление фазы приёмника Z_НГ;

- нарисовать схему цепи, построить векторную диаграмму при обрыве B-фазы и указать, как изменится мощность приёмника в сравнении с номинальной;

- нарисовать схему цепи, построить векторную диаграмму при коротком замыкании B-фазы и указать, как изменится мощность приёмника в сравнении с номинальной.

Ответы: Z_НГ = 6,3 + j6,1 Ом; уменьшится вдвое; возрастёт вдвое.

ЗАДАЧА 4.25. Трёхфазный приёмник, фазы которого соединены в треугольник, включен на напряжение 220 B. Мощность коэффициент мощности приёмника  Р_ном = 11,9 кВт,  cosj = 0,72. Выполнить следующее:

- нарисовать схему цепи и определить сопротивление фазы приёмника Z_НГ;

- нарисовать схему цепи, построить векторную диаграмму при обрыве B-фазы и указать, как изменится мощность приёмника в сравнении с номинальной;

- нарисовать схему цепи, построить векторную диаграмму при обрыве питающего провода B и указать, как изменится мощность приёмника в сравнении с номинальной.

Ответы: Z_НГ = 6,3 + j6,1 Ом; уменьшится на одну треть; уменьшится вдвое.