НЕСИММЕТРИЧНЫЕ ТРЁХФАЗНЫЕ ЦЕПИ

Активные мощности приёмников

P := + + (|I₄ + J₄|)²×Re(Z_4,4)

P = 3.506×10³

Реактивные мощности приёмников

Q := + + (|I₄ + J₄|)²×Im(Z_4,4)+

+ 2×Im(I₁× ×j×Im(Z_1,2)) + 2×Im(I₆× ×j×Im(Z_6,7))

Q = –1.762i×10³

ТРЁХФАЗНЫЕ ЦЕПИ

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Теория трёхфазных систем начинается с введения понятий: симметричные системы ЭДС, напряжений, токов; несимметричные системы ЭДС, напряжений, токов.

Краткий перечень названий ЭДС, напряжений, токов следующий:

- фазные ЭДС e_A, e_B, e_C  соответствующих фаз генератора AX, BY, CZ;

- фазные токи  I_AX, I_BY, I_CZ ;

- фазные напряжения U_AX, U_BY, U_CZ ;

- линейные напряжения U_AB, U_BC, U_CA ;

- линейные токи I_A, I_B, I_C ;

- ток нейтрали (нулевого провода)  I_N ;

- напряжение смещения нейтрали U_N или  (между нулевыми точками генератора и приёмника).

Соответственно, различают активные, реактивные, полные мощности фаз P_A, P_B, P_C, Q_A, Q_B, Q_C, S_A, S_B, S_C, а также активную P, реактивную Q и полную S мощности трёхфазных приёмников (или генератора), причём

P = P_A + P_B + P_C , Вт; Q = Q_A + Q_B + Q_C , вар; S = , ВА.

Трёхфазные цепи со статической нагрузкой, то есть не содержащие электродвигателей, трансформаторов и других активных элементов рассчитываются, как правило, комплексным методом. Их расчёт обычно сопровождается построением векторных или топографических диаграмм, которые предостерегают от возможных ошибок аналитических расчётов, делают все соотношения более наглядными.

Если в трёхфазной системе имеются устройства, сопротивления фаз которых зависят от системы токов (трёхфазные трёхстержневые трансформаторы, асинхронные или синхронные электродвигатели или генераторы, или хотя бы одно из таких устройств, мощность которого соизмерима с мощностью всей трёхфазной системы), то для расчёта несимметричного режима таких трёхфазных цепей применяют специальный метод расчёта – метод симметричных составляющих, который по сути своей является разновидностью метода наложения.

РАСЧЁТ СИММЕТРИЧНЫХ ТРЁХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Расчёт симметричных трёхфазных цепей сводится по сути к расчёту одной фазы по однолинейной эквивалентной схеме. В двух других фазах будут такие же по величине токи и напряжения, как в первой, но сдвинуты по фазе относительно них на угол 120°.

ЗАДАЧА 4.1.  К симметричной   трёхфазной   цепи  с  напряжением U = 380 B подключен симметричный приёмник, фазы которого соединены в «звезду» (рис. 4.1,а), сопротивления фаз r = 12 Ом, х = 16 Ом.

Найти показания приборов, построить векторную диаграмму цепи.

Решение

Когда говорят о напряжении трёхфазной цепи, подразумевают линей-ное напряжение сети (по умолчанию). Если задаётся фазное напряжение, то это подчёркивается специально.

В условиях нашей задачи напряжение сети  U = 380 B,  причём по условию симметрии: U_АВ = U_ВС = U_СА = U = 380 B.

Фазные напряжения меньше линейных в  раз:

U_А = U_В = U_С = U/  = 380/  = 220 B.

Предположим, что фазы генератора соединены в звезду, тогда фазные ЭДС генератора  Е_А = Е_В = Е_С = U_Ф = 220 B.

В симметричной системе Y-Y узловое напряжение U_N = 0и расчёт состояния цепи можно вести по схеме замещения для одной фазы (рис. 4.1,б).

Примем Е_А = 220 B, ток в схеме замещения

I_А = = = 11×e ^–j53,13° A,

причём фазное напряжение приёмника = Е_А – U_N = Е_А = U_А.

Результаты расчёта режима работы остальных фаз (В и С) запишем на основании понятия о симметричной трёхфазной системе прямого порядка следования фаз          Е_В = = U_B = Е_А×e ^–j120° = 220×e ^–j120° B;

Е_C = = U_C = Е_А×e ^j120° = 220×e ^j120° B;

аналогично для токов I_В = I_А×e ^–j120° = 11×e ^–j173,13° A;

I_C = I_А×e ^j120° = 11×e ^j66,87° A.

Векторная диаграмма цепи приведена на рис. 4.2, для которой потенциал нулевой точки генератора, обмотки которого соединены в «звезду», j _O = 0(рис. 4.1,б).

j _A = Е_А = 220 B; j _B = 220×e ^–j120° B; j _C = 220×e ^j120° B; = j _O + U_N = 0;

U_AO = j _A – j _O = Е_А = = j _A – = U_A = 220 B;   

аналогично U_B = j _B – j _O = 220×e ^–j120° B; U_C = j _C – j _O = 220×e ^j120° B;

а токи фаз ориентированы относительно своих фазных напряжений (сдвину-ты на угол j = arctg = arctg = 53,13°).

Линейные напряжения:

U_AВ = j _A - j _В = U_A× ×e ^j30°=

= 380×e ^j30° B;

U_ВС = U_AВ×e ^–j120° = 380×e ^–j90° B;

U_СA = U_AВ×e ^j120° = 380×e ^j150° B.

Напряжения и токи кату-шек ваттметров:

U_W1 = U_AВ = 380×e ^j30° B;

I_W1 = I_A = 11×e ^–j53,13° A;

U_W2 = -U_ВC = 380×e ^j90° B;

I_W2 = I_C = 11×e ^j66,87° A.

Показания приборов:

- амперметр A измеряет линейный ток I_B и его показание I_B = 11 A;

- вольтметр V₁ измеряет линейное напряжение U_AВ = 380 B;

- вольтметр V₂ измеряет фазное напряжение приёмника

U_A = 220 B;

- показания ваттметров:

P_W1 = Re[U_W1× ] = Re[U_AB× ] = U_AВ×I_A×cos(j + 30°)=

= 380×11×cos(53,13°+30°)= 500 Вт;

P_W2 = Re[U_W2× ] = Re[U_СВ× ] = U_СВ×I_С ×cos(j  –30°)=

= 380×11×cos(53,13° –30°)= 3846 Вт.

Обращаем внимание на сумму показаний двух ваттметров:

P_W1 + P_W2 = U×I×cos(j + 30°) + U×I×cos(j –30°) =

= U×I×cos30°×cosj  – U×I×sin30°×sinj + U×I×cos30°×cosj + U×I×sin30°×sinj =

= 2×U×I×cos30°×cosj = 2×U×I× ×cosj = ×U×I×cosj = P –активная мощностьсимметричного приёмника. В нашем примере

×U×I×cosj = ×380×11×cos(53,13°) = 4346 = 500 + 3846 Вт.

ЗАДАЧА 4.2.    Рассчи-

тать симметричный режим со-

единения в звезду  (рис. 4.3),

если    r = 40 Ом,  х = 80 Ом,

напряжение сети   U = 380 B.

Построить  векторную  диаг-

рамму цепи.

Ответы: I_С = 2,46 А;

U_В = 220 B;      U_ВС = 380 B;

P_W1 = -56 Вт;  P_W2 = 780 Вт;

P_W1 + P_W2 = 3×I²×r = 726 Вт.

 ЗАДАЧА 4.3. Фазы при-ёмника задачи 4.2 пересоеди-нены в треугольник (рис. 4.4). Рассчитать режим работы схе-мы. Найти отношение линей-ных токов I_D  схемы рис. 4.4 к линейным токам I_Y  рис. 4.3.

Решение

При соединении приём-ника в треугольник его линей-ные напряжения равны фазным напряжениям. Примем U_AВ = U = 380 B. Тогда

U_AХ =  U_AВ =380 B;   U_ВY =380×e ^–j120° B;     U_СZ =380×e ^j120° B.

Фазные токи рассчитаем по закону Ома:

I_ax = = = 4,25×e ^j63,44° A;

I_by = = I_ax×e ^–j120° = 4,25×e ^–j56,56° A;

I_cz = = I_ax×e ^j120° = 4,25×e ^j183,44° A.

Линейные токи находим по первому закону Кирхгофа:

I_A = I_ax – I_cz = I_ax×e ^-j30° = 7,36×e ^j33,44° A;

I_B = I_by – I_ax = I_by×e ^-j30° = I_A ×e ^–j120° = 7,36×e ^–j86,56° A;

I_C = I_cz – I_by = I_cz×e ^-j30° = I_A ×e ^j120° = 7,36×e ^j153,44° A.

Векторную диаграмму токов и напряжений соединения в треугольник строим так, чтобы удобно было показывать соотношение между линейными и фазными токами. Для этого исходящими из одной точки построим векторы фазных напряжений треугольника (рис. 4.5,а), относительно них ориентируем фазные токи треугольника, линейные токи находим в соответствии с первым законом Кирхгофа. На основании соотношений между токами, представленными на векторной диаграмме, можно наглядно получить записанные выше соотношения для расчёта линейных токов.

Заметим, что при построении векторной диаграммы треугольника можно пользоваться и традиционным способом построения топографической диаграммы комплексных потенциалов (рис. 4.2), ориентируя фазные токи треугольника относительно линейных напряжений сети, равных фазным напряжениям треугольника, как это показано на рис. 4.5,б. Однако при таком способе построения линейных токов необходимо переносить фазные токи с обратным направлением.

На основании расчётов запишем показания амперметров:

- линейный ток I_A = 7,36 A измеряет амперметр А₁;

- фазный ток треугольника измеряет амперметр А₂, его показание I_cz = 4,25 A.

Показания ваттметров в схеме рис. 4.4:

P_W1 = Re[U_AС × ] = Re[-380×e ^j120°×7,36×e ^–j33,44°] = -168 Вт;

P_W2 = Re[U_ВС × ] = Re[380×e ^-j120°×7,36×e ^j86,56°]= 2334 Вт.

Сумма показаний двух ваттметров P_W1 + P_W2 = 2167 Вт  по-прежнему равна активной мощности трёхфазного приёмника

P = 3×I_Ф×r_Ф = 3×4,25²×40 = 2167 Вт.

ЗАДАЧА4.4. Найти показания приборов в схеме рис. 4.6,а, если

r = 76 Ом, x = 44 Ом, U = 380 B.

Решение

Представим схему замещения рассматриваемой симметричной трёх-фазной цепи для основной фазы (А) (рис. 4.6,б) и определим её параметры:

- фазное напряжение источника питания  U_A = = = 220 B,

- сопротивление фазы эквивалентной треугольнику звезды r_Y = =  Ом.

Дальнейший расчёт выполним в комплексной форме, приняв U_A=220 B:

- фазный ток 1-го приёмника, соединенного в звезду I_1A = = = -j5 A;

- линейный ток треугольника  I_2A = = = = 5  A.

Схема замещения рис. 4.6,б не позволяет рассчитать фазный ток симметричного треугольника, который меньше линейного в  раз и не совпадает с ним по фазе (см. решение задачи 4.3):

I_ab = ×e ^j30° = ×e ^j30° = 5×e ^j30° A;

I_bc = I_ab×e ^-j120°= 5×e ^–j90° A;

I_ca = I_ab×e ^j120°= 5×e ^j150° A.

Линейный ток генератора

I_A = I_1A + I_2A = -j5 + 5  = 10×e ^-j30° A,

ток токовой катушки ваттметра I_W = I_B = I_A×e ^-j120° = 10×e ^–j150° A.

Напряжение катушки напряжения ваттметра

U_W = U_AC = U_A×e ^–j30° = 380×e ^–j30° B.

Показание ваттметра

P_W = Re[U_W × ] = Re[380×e ^–j30°×10×e ^j150°] = -1900 Вт.

Показания амперметров:

A₁® I_1A = 5 A, A₂® I_2A = 5  A, A₃® I_CA = 5 A.

Заметим, что для схемы рис. 4.6,а можно построить и другую схему замещения (рис. 4.7), в которой соединение в звезду 1-го приёмника заменено эквивалентным соединением в треугольник, причём

Z_D = 3×Z_Y = 3×j44 = j132 Ом.

Режим работы каждого из параллельно включенных треугольников рассчитывается отдельно: при фазном напряжении U_A = 220 B, (см. выше)

линейное напряжение U_AB = U_A e ^j30° = 380×e ^j30° B.

Токи I_ab = = = 5×e ^j30° A,

I_2A = I_ab e ^-j30°  = 5  A, I_ax = = = ×e ^–j60° A,

I_1A = I_ax e ^-j30° = 5×e ^–j90° = -j5 A

и т.д. по тексту, приведенному выше.

ЗАДАЧА4.5. К источнику с линейным напряжением     U = 660 B (рис.4.8,а) через реакторы с сопротивлением    x₀ = 25 Ом    подключены: электродвигатель, каждая фаза которого имеет сопротивление  r = x = 50 Ом при соединении звездой; трёхфазный масляный конденсатор, используемый для повышения коэффициента мощности установки, фазы которого соединены в треугольник и имеют сопротивление x_C = 300 Ом.

Определить напряжение на зажимах двигателя и его мощность. Найти потерю напряжения.

Расчёт трёхфазной системы выполним по схеме замещения для одной фазы (рис. 4.8б).

Фазное напряжение генератора  U_A = = = 380 В.

Сопротивление эквивалентной симметричному треугольнику звезды

x_Y = = = 100 Ом.

Примем U_A = U_A = 380 В, тогда

I_A = = = =

= 3,687×e ^–j14,04° A,

фазное напряжение двигателя

U_A1 = I_A× = 3,687×e ^–j14,04°×100 = 368,7×e ^–j14,04° B.

Линейное напряжение на зажимах двигателя (рис. 4.8,а)

U_A1B1 = ×U_A1 = ×368,7 = 638,6 B.

Потеря напряжения DU = U_AB – U_A1B1 = 660 – 638,6 = 21,4 B, что в процентном выражении от напряжения сети составляет

DU%= ×100 = ×100 = 3,24%.

Заметим, что в соответствии с Правилами технической эксплуатации установок потребителей (ПТЭ) потеря напряжения не должна превышать 5%. Таким образом, схема с реакторами, применяемыми для ограничения токов короткого замыкания на зажимах потребителей, удовлетворяет ПТЭ по допустимой потере напряжения.

Ток двигателя   I_1A = = = 5,215×e ^–j59,04° A.

Активная мощность двигателя

Р = ×U_A1B1×I_1А×соs(j₁) = 3× I_1А²× r = 3×5,215²×50 = 4079 Вт.

Ответы: I_3А = 32,4 A; I_4са = 11,23 A; I_2А = 19,45 A; I_1А = 25,93 A;

U_ф3 = 194,5 В; U_а1b1 = 337 В; U_а2b2 = U_ф4 = 272 В.

ЗАДАЧА 4.7. На шины подстанции предприятия электрическая энергия подаётся от двух трёхфазных источников питания, расположенных в разных географических точках, через линии электропередачи ЛЭП1 и ЛЭП2 (рис. 4.10).

Напряжения на входе линий одинаковы, равны 6,3 кВ, сфазированы в режиме холостого хода (имеют одинаковые начальные фазы соответствующих друг другу фаз цепи).

Активные и индуктивные сопротивления фаз первой и второй линий r₁ = 0,5 Ом, х₁ = 0,3 Ом,

r₂ = 0,4 Ом, х₂ = 0,6 Ом.

Номинальное напряжение на шинах подстанции U_Н = 6 кВ, установленная мощность работающих двигателей Р_Н = 4000 кВт при cosj _Н = 0,8 (j _Н > 0), реактивная мощность статических конденсаторов  Q_Н = 2500 квар.

Определить напряжение на шинах подстанции, токи линий, активные, реактивные и полные мощности источников питания.

Решение

Построим  схему  замещения  трёхфазной  системы  для  одной  фазы (рис. 4.11). Фазные ЭДС рассчитаем по заданным линейным напряжениям в начале линий электропередачи   U₁ = U₂:    Е₁= Е₂ = = = 3638 В.

Так как эти напряжения при параллельной работе линий сфазированы, то начальные фазы у них одинаковы для соответствующих фаз. Примем

y_е1 = y_е2 = 0,    тогда комплексы ЭДС Е₁= Е₂ = Е₁= 3638 В.

Комплексные сопротивления ЛЭП на фазу

Z₁= r₁ + jx₁ = 0,5 + j0,3 Ом, Z₂= r₂ + jx₂ = 0,4 + j0,6 Ом.

Параметры присоединений рассчитаем по номинальным данным.

Для присоединения 3 получаем Р_Н = ×U_Н ×I_Н ×cosj _Н, откуда

I_Н = = = 481 A;

полное сопротивление фазы при соединении нагрузки в звезду

Z₃ = = = 7,2 Ом;

активное сопротивление фазы нагрузки r₃ = Z₃×cosj_Н = 7,2×0,8 = 5,76 Ом;

индуктивное сопротивление х₃ =Z₃×sinj_Н =Z₃× = 7,2×0,6 = 4,32 Ом;

комплексное сопротивление Z₃ = r₃ + jx₃ = 5,76 + j4,32 = 7,2×e ^j36,87° Ом.

Для батареи кон-денсаторов

 Q_Н = 3×i_4Н ×x₄ =

= ×U_Н ×I_4Н,

 откуда

i_4Н  = = 240,6 A;

х₄ = = =

= 14,4 Ом;

Z₄ = -jx₄ = -j14,4 Ом.

Расчёт схемы рис. 4.11 выполним методом узлового напряжения.

U₁₂ = =

= 3638× =

= 3530 – j72,8 = 3531×e ^-j1,18° B;

I₁ = = = 223,1 + j11,77 = 223,4×e ^j3,02° A;

I₂ = = = 166,8 – j65,5 = 180,3×e ^–j22,23° A;

I₃ = = = 386,2 – j302,2 = 490,4×e ^–j38,05° A;

I₄ = = = 5 + j245 = 245,1×e ^j88,1° A.

Линейное напряжение на шинах подстанции

U₁₂ = U₁₂ = ×3531 = 6115 B = 6,115 кВ.

Токи линий  I₁ = 223,4 A;  I₂ = 180,3 A.

Комплексные мощности источников питания (на входе ЛЭП)

S₁ = 3×E₁× = 3×3638×(223,1 – j11,78)×10^-3 = 2435 – j128,5 кBA,

S₂ = 3×E₂× = 3×3638×(166,8 + j65,5)×10^-3 = 1685 + j747,5 кBA,

откуда  P₁ = 2435 кВт, Q₁ = -128,5 квар,  S₁ = 2438 кBA;

P₂ = 1685 кВт, Q₂ = 747,5 квар,   S₂ = 1843 кBA.

ЗАДАЧА 4.8. От Старобешевской ГРЭС в Донецк (60 км) необходимо

передать мощность 3000 кВт при линейном напряжении у потребителя 35кВ

и cosj = 0,8, но так, чтобы потери мощности в линии не превышали 5% от полезной.

Требуется рассчитать и сравнить затраты (например, меди) на сооружение однофазной 2-проводной и 3-фазной трёхпроводной ЛЭП.

Решение

А. Однофазная линия передачи (рис. 4.12,а)

Дано: провода медные,  g = 5,7·10⁷ См/м,

l = 2×60 км, r = 8,9 г/см³,  U_НГ = 35 кВ,

Р_НГ = 3000 кВт, cosj = 0,8, DР_Л = 5%Р_НГ = 150 кВт.

Требуется рассчитать вес меди, необходимой для проводов линии G_меди - ?

Задача решается по следующему алгоритму:

I = = = 107 A;

R_пров = = = 13,1 Ом;

S_пров = = = 161·10 ^-6 м = 161 мм²;

G_меди = r ·l·S_пров = 8900·120·10³·161·10 ^-6 = 172000 кг = 172 т.

Б. Трёхфазная линия передачи (рис. 4.12,б)

Так как нагрузка симметричная, выполним пересчёт на одну фазу:

P_ф = Р_НГ/3 = 1000 кВт, DР_Л = 50 кВт, U_ф = U_Л/ = 35/ = 20,21 кВ.

Далее расчёт ведём аналогично:

I_ф = 61,9 A ®  R_пров = 13,1 Ом ® S_пров = = 80,4·10 ^-6 м = 80,4 мм²;

G_меди= 8900·60·10³·80,4·10 ^-6 =129000 кг =129 т.

Заключение: по затратам меди на изготовление линии передачи 3-фазная ЛЭП экономичнее - G_3ф = 0,75G_1ф. Без доказательства – на 4-проводную линию уйдёт 87,5%G_1ф. И ещё: «звезда» по затратам меди втрое выгоднее «треугольника», но это уже из-за того, что при звезде придётся работать на более высоком напряжении.

ЗАДАЧА 4.9. Дано: двигатель типа

АК-52/4,  n = 1375 об/мин,  50 Гц.

Р_ном = 4,5 кВт,  U_ном = 220 В,

I_ном = 17,8 А, cosj = 0,83, КПД h = 0,8.

Требуется определить сопротивления обмоток двигателя R_Ф, Х_Ф, Z_Ф.

Пояснения и решение

Прежде всего, следует помнить, что в паспорте электродвигателя указываются линейные величины напряжения  U_Л = U_ном  и тока I_Л = I_ном. Двигатель имеет три одинаковые фазные обмотки, сопротивления которых и требуется определить. Напомним ещё, что двигатели малой мощности выпускаются так, что их обмотки не соединены ни в звезду, ни в треуголь-ник. На клеммном щитке выведены 6 зажимов: начала обмоток А, В, С и концы Х, Y, Z. Чтобы получить указанную мощность двигателя, его обмотки можно соединить в звезду при напряжении 380 В (рис. 4.13,а) или в треуголь-ник, если в сети 220 В (рис. 4.13,б). Так что по условиям задачи можно заключить, что в нашем случае обмотки двигателя соединены в треугольник.

Что касается указанной мощности Р_ном, то надо сказать, что это – так называемая отпускная мощность, то есть мощность на валу у нагрузки-потребителя или мощность с учётом ещё и механического КПД двигателя.

В самом деле:  Р = ×U_Л ×I_Л×cosj = ×220×17,8×0,83 = 5629 Вт;

Р_ном = Р×h = 5629×0,8 = 4504 Вт.

Поэтому в паспортных данных указывается либо h, либо I_ном.

Параметры обмоток двигателя R_Ф, Х_Ф, Z_Ф определяют через расчётные электрические мощности. При соединении обмоток в треугольник:

U_Ф = U_Л = 220 В, I_Ф = I_Л/  = 10,28 А, Р_Ф = Р/3 = 5629/3 = 1876 Вт.

Тогда сопротивления обмоток:

Z_Ф = = = 21,4 Ом;

R_Ф = = = 17,76 Ом;

Х_Ф = = = 11,95 Ом.  

ЗАДАЧА4.10. Симметричная нагрузка подключена к сети с напряжением 380 B (рис. 4.14). Амперметр показывает 2,2 А. Определить показание ваттметра, если:

а) Z_НГ = R_НГ;    б) Z_НГ = +jХ_НГ;    в) Z_НГ = -jХ_НГ.

Ответы: а) 0;  б) –724 Вт;  в) 724 Вт.

ЗАДАЧА 4.11. Симметричная нагрузка Z_НГ = 10×e ^j45°  Ом подключена к симметричному генератору (рис. 4.15). Определить показание ваттметра, если амперметр показывает 17,3 А.

Ответ: -122,5 Вт.

ЗАДАЧА4.13. Для определения параметров симметричной трёхфазной нагрузки можно воспользоваться схемой Арона (схема включения двух однофазных ваттметров для измерения активной мощности трёхфазной трёхпроводной цепи) (рис. 4.16).

При U_Л = 220 В показания ваттметров – Р_W1 = 2128 Вт,    Р_W2 = 570 Вт. Определить комплекс сопротивления нагрузки Z_НГ.

Ответ: Z_НГ = 9 – j9 Ом.

НЕСИММЕТРИЧНЫЕ ТРЁХФАЗНЫЕ ЦЕПИ

ЗАДАЧА 4.14. Определить токи в четырёхпроводной цепи (рис. 4.17,а) и напряжения на фазах несимметричного приёмника, включенного в симметричную трёхфазную сеть с напряжением U = 380 B, если

r = wL = = 44 Ом.

Найти активную и реактивную мощности несимметричного приёмника, построить векторную диаграмму.

Решение

По умолчанию считаем, что фазы симметричного генератора соединены в звезду с выведенной нулевой точкой О (на рис. 4.17,а показано штриховыми линиями). Так как сопротивление нулевого провода   Z_N = 0,  то потенциалы  j ₀ = j ₀₁ = 0 и U_N = j ₀ - j ₀₁ = 0.

В этом случае фазные напряжения несимметричного приёмника равны фазным ЭДС симметричного генератора  U_A = E_A – U_N  = E_A,     аналогично U_B = E_B,  U_С = E_С.

Фазная ЭДС E = = = 220 В.

Приняв E_A = 220 В, получим Е_B = 220×e ^-j120° B, Е_С = 220×e ^j120° B.

По закону Ома токи

I_A = = = 5 А; I_В = = = 5×e ^–j210° А;

I_С = = = 5×e ^j210° А, а по первому закону Кирхгофа

I_N = I_A + I_В + I_С = 5×(1 + e ^–j210° + e ^j210°) = 5×(1 - ) = -3,64 A.

Векторная диаграмма цепи приведена на рис. 4.17,б.

Активная мощность приёмника

Р = Р_А + Р_В + Р_С = = I_A²×r = 5²×44 = 1100 Вт.

Реактивная мощность также определяется как алгебраическая сумма мощностей трёх фаз приёмника

Q = Q_А + Q_В + Q_С = = I_B²×wL - I_C²×  = 5²×44 - 5²×44 = 0.

ЗАДАЧА 4.15. Решить задачу 4.14 при разомкнутом нулевом проводе.

Решение

Приведём расчётную схему установки (рис. 4.18,а).

Рассчитаем узловое напряжение (напряжение смещения нейтрали)

U_N = = 220×(1 + e ^–j210° + e ^j210°) = -160 B.

Фазные напряжения приёмника

U_A = E_A – U_N  = 220 + 160 = 380 B,                  U_A = 380 B;

U_B = E_B – U_N  = 220×e ^–j120° + 160 = 50– j190 B,  U_B = 196,5 B;

U_C = E_C – U_N  = 220×e ^j120° + 160 = 50+ j190 B,  U_C = 196,5 B.

Фазные токи приёмника равны линейным

I_A = = = 8,64 A,                                     I_A = 8,64 A;

I_B = = = -4,32 – j1,14 A,              I_B = 4,47 A;

I_C = = = -4,32 + j1,14 A,             I_C = 4,47 A.

Проверка осуществляется по I закону Кирхгофа: I_A + I_В + I_С = 0, то есть выполняется.

Активная мощность приёмника

Р = = I_A²×r = 8,64²×44 = 3285 Вт.

Реактивная мощность

Q = = I_B²×wL - I_C²×  = 4,47²×44 – 4,47²×44 = 0.

ЗАДАЧА4.16. Рассчитать токи несимметричного треугольника (рис. 4.19,а), построить векторную диаграмму, если

U = 380 В,   r = x_C = 100 Ом,    x_L = 100  Ом.

Решение

При подключении треугольника сопротивлений к трёхфазному генератору линейные напряжения генератора равны фазным напряжениям нагрузки. Примем U_AB = 380 B = U_AX, тогда

U_BY = U_BC = 380×e ^-j120° B, U_CZ = U_СA = 380×e ^j120° B.

По закону Ома находим фазные токи треугольника

I_ax = = = 3,8 А; I_by = = = 1,9 ×e ^–j210° А;

I_cz = = = 3,8×e ^j210° А.

Линейные токи находим по I закону Кирхгофа

I_A = I_ax – I_cz = 3,8 – 3,8×e ^j210° = 3,8 + 3,3 + j1,9 = 7,1 + j1,9 = 7,35×e ^j15° А;

I_В = I_by – I_ax = -2,3 + j1,34 – 3,8 = -6,13 + j1,34 = -6,28×e ^–j12,33° А;

I_С = I_cz – I_by = -3,3 – j1,9 + 2,33 – j1,34 = -0,97 – j3,24 = -3,38×e ^j73,33° А.    

Векторная  диаграмма  треугольника  сопротивлений  приведена  на рис. 4.19,б.

Показания ваттметров

P_W1 = Re[U_AB×  ] = Re[380×(7,1 – j1,9)] = 2698 Вт,

P_W2 = Re[U_СB×  ] = Re[-380×e ^–j120°×(-3,38×e ^-j73,33°)] = -1250 Вт.

Активная мощность несимметричного приёмника

Р = Р_АХ + Р_ВY + Р_СZ = I_ах²×r = 3,8²×100 = 1444 Вт.

Сумма показаний двух ваттметров схемы рис. 4.19,а

P_W1 + P_W2 = 2698 – 1250 = 1448 Вт = Р.

Таким образом, приведенная схема включения двух ваттметров есть схема измерения активной мощности в трёхфазной трёхпроводной цепи, а отличие в четвёртом знаке результатов есть следствие округления чисел.

ЗАДАЧА 4.17. Схема задачи 4.16 питается от симметричного источни-ка, фазы которого соединены в треугольник. Считая источник питания идеаль-ным (рис. 4.20,а), фазную ЭДС Е_АХ = 380 B, найти фазные токи генератора.

Так как внутренние сопротивления фаз трёхфазного источника питания равны нулю, то при любых токах нагрузки линейные напряжения

U_AВ = Е_АХ = 380 B, U_ВС = Е_ВY = 380×e ^–j120° B, U_СА = Е_СZ = 380×e ^j120° B;  

что совпадает с линейными напряжениями схемы задачи 4.16, на основании расчётов которой линейные токи

I_A = 7,1 + j1,9 А;  I_В = -6,13 + j1,34 А; I_С = -0,97 – j3,24 А.

Для расчёта фазных токов генератора составим систему уравнений Кирхгофа. По первому закону Кирхгофа для узлов

А) i_АВ – i_СА = i_А; В) i_ВС – i_АВ = i_В.

Уравнение по второму закону Кирхгофа для контура, состоящего из фаз генератора, запишем, исходя из того, что внутреннее сопротивление фазы генератора Z любое, но для всех фаз одинаковое – симметричный генератор. Получим i_АВ×Z + i_ВС×Z + i_СА×Z = Е_АХ + Е_BY + Е_CZ.

У симметричного генератора Е_АХ + Е_BY + Е_CZ º 0, поэтому

Z×(i_АВ + i_ВС + i_СА) º 0 при любом внутреннем сопротивлении Z.

Таким образом, для расчёта фазных токов источника питания необходимо решить систему уравнений

i_АВ – i_СА = i_А;

i_ВС – i_АВ = i_В;

i_АВ + i_ВС + i_СА = 0;

откуда с учётом i_А + i_В + i_С = 0 получаем:

i_АВ = ; i_ВС = 123Следующая ⇒