Система уравнений и её решение

Симметричные составляющие токов нагрузки и генератора (кА и кВ)

на основании рис. 4.46

iНГ1:=  iНГ1= -0.5j iНГ2:=  iНГ2= 0.5j  iНГ0:= 0

iГ1:=  iГ1= -1.5j iГ2:=  iГ2= -0.5j

iГ0:= iГ0 = -j

Токи нагрузки, генератора и в месте КЗ (кА)

iaНГ:= iНГ1+iНГ2+iНГ0        iaНГ = 0

ibНГ:= a²×iНГ1+a×iНГ2+iНГ0  ibНГ = -0.866

icНГ:= a×iНГ1+a²×iНГ2+iНГ0  ibНГ = 0.866

iAГ:= iГ1+iГ2+iГ0                   iAГ = -3j

iBГ:= a²×iГ1+a×iГ2+iГ0            iBГ = -0.866

iCГ:= a×iГ1+a²×iГ2+iГ0           iCГ = 0.866

iA:= i1+i2+i0                            iA = -3j

iB:= a²×i1+a×i2+i0                    iB = 0

iC:= a×i1+a²×i2+i0                   iC = 0

Напряжения на нагрузке (в месте КЗ) и на зажимах генератора (кВ)

Ua:= U1+U2+U0                     Ua = 0

Ub:= a²×U1+a×U2+U0              f(Ub) = (-6-5.196j 7.937 -139.107)

Uc:= a×U1+a²×U2+U0              f(Uc) = (-6+5.196j 7.937 139.107)

UГ1:= U1+ iГ1×ZЛ1              UГ1 = 6.5

UГ2:= U2+ iГ2×ZЛ2               UГ2 = -0.5

UГ0:= U0+ iГ0×ZЛ0               UГ0 = -2

UA:= UГ1+UГ2+UГ0            UA = 4

UB:= a²×UГ1+a×UГ2+UГ0      f(UB) = (-5-6.062j 7.858 -129.515)

UC:= a×UГ1+a²×UГ2+UГ0     f(UC) = (-5+6.062j 7.858 129.515)

ЗАДАЧА 4.34. На шинах гене-ратора, работающего на соединённую звездой нагрузку, произошло одно-фазное замыкание на землю через сопротивление Z = 4,65 Ом (рис. 4.48). Сопротивления генератора (в Ом): Z_Г1 = j10, Z_Г2 = j1, Z_Г0 = j10; сопро-тивления нагрузки одинаковы всем последовательностям: Z_Н = j100 Ом. Сопротивление заземления нейтраль-ной точки генератора Z_N = 2 Ом. Фаз-ная ЭДС генератора Е = 20 кВ. Определить токи во всех фазах генератора.

Решение

В данной задаче имеет место поперечная несимметрия. Место несим-метрии имитируем введением источников с напряжениями U_а, U_b, U_с, через которые протекают токи I_A, I_B, I_C (рис. 4.49). Указанные напряжения и токи, образующие несимметричные системы векторов на комплексной плоскости, могут быть разложены на симметричные составляющие. В результате в соответствии с принципом наложения одна несимметричная трёхфазная цепь рис. 4.49 распадается на три симметричные прямой, обратной и нулевой последовательностей (рис. 4.50а, б, в). Упростим схемы рис. 4.50а, б, в, сведя их к виду рис. 4.51а, б, в. Параметры новых схем рис. 4.51 определяются по

На основании второго закона Кирхгофа для схем рис. 4.51 получаем три уравнения:

Недостающие три уравнения составляются по условиям конкретного места несимметрии: I_В = a²×I₁ + a×I₂ + I₀ = 0,

I_С = a×I₁ + a²×I₂ + I₀ = 0,

U_А = I_А×Z или  U₁ + U₂ + U₀ = (I₁ + I₂ + I₀)×Z.

Решая систему матричным способом, получаем искомые симметричные составляющие, с помощью которых находим заданные в задаче величины.

Ниже приводится текст MathCAD-программы.

ORIGIN:= 1  j:=  - мнимая единица   a:= e ^j×120×deg

Функция пользователя для вывода результатов f(x):=

Исходные данные   E:= 220  ZГ1:= j×10  ZГ2:= j    ZГ0:= j×10

ZН:= j×100 Z:= 4.65   ZN:= 2

Вычисление параметров схем различных последовательностей

Z1:= Z1= 9.091j  Z2:= Z2= 0.99j  

Z0:= ZГ0+3ZN        f(Z0) = (6+10j 11.662  69.036)

E1:=  E1= 200  

Система уравнений и её решение

K:= L:=      X:= K^-1×L

Искомые симметричные составляющие

U1 := X₁ U2 := X₂       U0 := X₃  I1 := X₄ I2 := X₅  I0 := X₆

=   =

Симметричные составляющие токов генератора на основании рис. 4.50

iГ1:= I1 +     iГ2:= I2 +   iГ0:= I0

Токи генератора

iAГ:= iГ1+iГ2+iГ0             f(iAГ) = (14.437-16.532j 21.949 -48.87)

iBГ:= a²×iГ1+a×iГ2+iГ0      f(iВГ) = (-1.129+1.097j 1.574 135.842)

iCГ:= a×iГ1+a²×iГ2+iГ0      f(iСГ) = (1.631+0.398j   1.679 13.71)

ЗАДАЧА 4.35. От симметричного трёхфазного генератора питаются асинхронный и синхронный двигатели   (рис. 4.52).  Фазная ЭДС генератора Е =220 В, сопротивления различных последовательностей: генератора Z_Г1 = = j0,6 Ом,   Z_Г2 = j0,1 Ом,   Z_Г0 = j0,05 Ом;   асинхронного двигателя   Z_Д1 = 3 + + j0,4 Ом,  Z_Д2 =  0,05 + j0,1 Ом;   синхронного двигателя   Z_С1 = 4 + j0,5 Ом, Z_С2 = 0,1 + j0,2 Ом,  Z_С0 = 0,1 + j0,1 Ом;  сопротивление заземления нулевой точки генератора и синхронного двигателя – Z_NГ = Z_NС = 0,1 Ом. Определить: токи двухфазного на землю металлического замыкания проводов В и С, суммарный ток короткого замыкания, напряжение на здоровой фазе А. Дополнительно определить по упрощённой методике, применяемой в курсе «Электромагнитные переходные процессы», симметричные составляющие токов и напряжений, вводимых в место короткого замыкания, сравнить их

Решение

Аналогично тому, как это было сделано при решении  задачи  4.34 (рис. 4.49), введём в место аварии систему источников с напряжениями U_а, U_b, U_с, через которые протекают токи I_A, I_B, I_C. Указанные несимметричные напряжения и токи представляем симметричными составляющими прямой, обратной и нулевой последовательностей. Рассматривая каждую из последовательностей отдельно, получаем расчётные схемы для одной фазы (рис. 4.53). Упрощаем полученные расчётные схемы к виду рис. 4.51. Здесь

Z₁ = (Z_Г1^-1+ Z_Д1^-1 + Z_С1^-1)^-1; Z₂ = (Z_Г2^-1+ Z_Д2^-1 + Z_С2^-1)^-1;

Z₀ = ; Е₁ = .

На основании второго закона Кирхгофа для схем рис. 4.51 получаем три уравнения: U₁ + I₁×Z₁ = Е₁, U₂ + I₂×Z₂ = 0, U₀ + I₀×Z₀ = 0.

Недостающие три уравнения составляются по условиям конкретного места несимметрии: U_В = a²×U₁ + a×U₂ + U₀ = 0,

I_А = I₁ + I₂ + I₀ = 0.

Решая систему матричным способом, получаем искомые симметричные составляющие, с помощью которых находим заданные в задаче величины.

В методике, применяемой в курсе «Электромагнитные переходные процессы», сначала определяется ток трёхфазного короткого замыкания, которое является симметричным и для его определения нужна только схема замещения прямой последовательности. При этом рис. 4.51,а превращается в рис. 4.54,а. Очевидно, iK⁽³⁾:= = . Симметричная составляющая прямой последовательности тока короткого замыкания I₁ находится в соответствии с правилом Н.Н. Щедрина, согласно которому точка замыкания удаляется на дополнительное сопротивление Z_D, которое не зависит от параметров схемы прямой последовательности и для каждого вида короткого замыкания определяется результирующими сопротивлениями обратной и нулевой последовательностей относительно рассматриваемой точки схемы, то есть схема рис. 4.54,а превращается в схему рис. 4.54,б. В случае двухфазного на землю короткого замыкания = . Получаем рис. 4.54,в, из которого находим все необходимые симметричные составляющие:

I₁ = ; I₂ = -I₁× ; I₀ = -I₁× ; U₁ = U₂ = U₀ = I₁× .

Ниже приводится текст MathCAD-программы.

ORIGIN:= 1  j:=  - мнимая единица   a:= e ^j×120×deg

Функция пользователя для вывода результатов f(x):=

Исходные данные   E:= 220  ZГ1:= j×0.6  ZГ2:= j×0.1    ZГ0:= j×0.05

ZД1:= 3 + j×4  ZД2:= 0.05 + j×0.1 ZД0:= 0.05 + j×0.05

ZС1:= 4 + j×0.5 ZС2:= 0.1 + j×0.2 ZС0:= 0.1 + j×0.1

ZNГ:= 0.1       ZNС:= 0.1