Правило А.К. Верещагина «перемножения эпюр»

В 1924 г. студент Московского института инженеров транспорта Андрей Константинович Верещагин (1896–1959), ставший впоследствии инженером-полковником, заметил, что, если для стержня с постоянной жесткостью в формуле Мора одна из функций, стоящих в числителе, является линейной, вычисление интеграла можно упростить и вместо функциональных зависимостей M_F (х) и использовать эпюры соответствующих моментов. Поэтому способ, полученный А.К. Верещагиным для вычисления интеграла от произведения двух функций, называют способом «перемножения эпюр». Слова «перемножение эпюр», поставлены в заголовке в кавычки, поскольку правило относится не к вычислению произведения эпюр, входящих в формулу Мора, а к интегралу от этого произведения. В случае стержневой системы, состоящей из прямолинейных стержней, единичная эпюра всегда является линейной, и поэтому способ А.К. Верещагина применяется достаточно часто.

Для случая преобразуем формулу (9.2) к виду:

(9.3)

Покажем, как вычисление интеграла в формуле (9.3) сводится к использованию геометрических параметров соответствующих эпюр.

На рис. 9.4 показана грузовая эпюра моментов М_F от внешних нагрузок, предполагаемая произвольной,и единичная эпюра , которая предполагается линейной.

Рис. 9.4. К выводу правила Верещагина А.К.

Уравнение для линейной эпюры запишем в виде:

Интеграл, входящий в (9.3), будет равен:

Первый интеграл, стоящий в правой части равенства, является площадью эпюры М_F, которую обозначим w_F. Учитывая, что второй интеграл, равный представляет собой статический момент площади w_F относительно оси у, который равен:

где х_С – расстояние от оси у до центра тяжести площади w_F. В итоге приходим к равенству

Из рис. 9.4 нетрудно установить, что сумма, стоящая в скобках, равна

,

где: у_С – ордината единичной эпюры, находящаяся под центром тяжести грузовой эпюры. Таким образом, для интеграла Мора получим окончательное выражение, называемое способом или правилом А.К. Верещагина:

.

(9.4)

Правило Верещагина.

Интеграл от произведения грузовой и единичной эпюр равен площади грузовой эпюры, умноженной на ординату единичной эпюры под центром тяжести грузовой эпюры.

В случае, когда грузовая эпюра также линейная, в формуле (9.4) можно брать площадь любой из двух эпюр (грузовой или единичной).

Произведение w_F и у_С следует брать с учетом знака. Оно может быть положительное или отрицательное. Для балок, где знаки на эпюрах моментов ставят (вверху «минус», снизу «плюс»), вычисление знака этого произведения не представляет трудности. В рамах принято знак момента не ставить, а эпюры строить со стороны растянутого волокна. Считают, что если эпюра М_F и ордината эпюры лежат с одной стороны от оси, то их произведение будет положительным, в противоположном случае – отрицательным.

Для балки, состоящей из нескольких участков, и для рам следует вычислять интегралы Мора по каждому из участков конструкции. Во многих случаях площадь грузовой эпюры, и особенно ее центр тяжести, найти затруднительно, поэтому рассмотрим способы разбиения сложных эпюр на простейшие.

Ограничиваясь рассмотрением грузовых эпюр М_F, имеющих вид квадратной параболы, приведем способ разбиения сложных эпюр на более простые, указав площади и положения центров тяжести отдельных частей.

На рис. 9.5 показан способ разбиения «равнозначной» трапеции, у которой основания имеют одинаковый знак (рис. 9.5, а), «разнозначной» трапеции (рис. 9.5, б) и квадратной параболы (рис. 9.5, в).

Рис. 9.5. Способы разбиения эпюр

Буквами обозначены площади отдельных частей эпюры. На первый взгляд, трапецию логично разбить на прямоугольник и треугольник, но на самом деле удобнее представить трапецию как сумму двух треугольников, что позволяет ввести единообразие в использование правила А.К. Верещагина. На рис. 9.5, а треугольники ABD и A₁B₁D₁ отличаются по форме, но их можно считать эквивалентными, поскольку, эти треугольники, имеющие одинаковое основание (b) и высоту (l), имеют равную площадь ( bl/2), и их центры тяжести находятся на одинаковом расстоянии (l/3) от основания. Показанная на рис. 9.5, б разнозначная трапеция разбивается на два треугольника, один из которых расположен выше базовой линии, а другой ниже. Если к балке приложена равномерно распределенная нагрузка q, то на соответствующем участке эпюра моментов представляется квадратной параболой (рис. 9.5, в). В этом случае суммарная эпюра разбивается на трапецию, которая рассмотрена выше, и «чистую» квадратную параболу (значения которой на концах участка равны нулю).

Для определения площади параболы можно проинтегрировать функцию M(x) для балки на двух опорах, загруженной равномерно распределенной нагрузкой q.

На расстоянии х от левой опоры для этой балки:

(9.5)

где: f = ql²/8 – максимальное значение изгибающего момента посередине балки (эту величину часто называют «стрелкой параболы»), l – длина участка. Центр тяжести лежит посредине параболы.

При разбиении сложных эпюр на более простые формула (9.4) будет иметь вид:

(9.6)

где: – площади простейших фигур, составляющих грузовую эпюру, а у_i – ординаты единичной эпюры под центрами тяжести соответствующих площадей .

В случае, когда обе эпюры (грузовая и единичная) имеют вид трапеций (рис. 9.6), для вычисления интеграла от произведения этих эпюр существует формула «перемножения трапеций», вывод которой приведен ниже.

Рис. 9.6. К формуле «перемножения трапеций»

(9.7)

Значения a, b, c, и d в формуле (9.7) следует брать с учетом знака (выше – ниже оси). Надо разделить длину участка на шесть, а затем перемножить дважды левые ординаты, дважды правые ординаты и, далее, перемножить друг на друга ординаты, расположенные «крест на крест».

Пример 9.2.Вычислим, используя правило Верещагина А.К. прогиб и угол поворота на левом конце балки, рассмотренной в примере 9.1.

На рис. 9.7 показаны грузовая эпюра , а также две единичные эпюры: (от вертикальной единичной силы в т. A) и (от единичного момента в т. А).

Грузовая эпюра разбита на треугольник, площадь которого равна и «чистую» квадратную параболу площадью

Для удобства рассуждений стрелками показано положение частей грузовой эпюры относительно оси (сверху, снизу).

Рис. 9.7. К примеру 9.2

Ординаты единичных эпюр под центрами тяжести треугольника и параболы будут равны:

- для эпюры

;

- для эпюры

.

Подставляя полученные значения и у_i в (9.6), находим:

Знак «плюс» при перемножении площади на соответствующую ординату получают при условии, что грузовая эпюра и ордината единичной эпюры находятся с одной стороны от базовой линии, а знак «минус» – когда грузовая эпюра и ордината единичной эпюры находятся по разные стороны от базовой линии.

Знак окончательного результата «перемножения» эпюр имеет следующее значение. Положительный результат свидетельствует о том, что перемещение происходит по направлению единичного воздействия, а отрицательный – против. Так, например, знак «минус» в результате дляφ_А указывает на то, что направление угла поворота сечения балки в т. А противоположно направлению единичного момента, приложенного к балке.

Метод Мора удобен при вычислении перемещений в рамах, поскольку позволяет вычислять не только вертикальные перемещения и углы поворота, но и горизонтальные перемещения.