Формула Мора для определения перемещений в плоских стержневых системах

Понятие о перемещениях в плоских стержневых системах

Перемещения в балках. Вычисление перемещений необходимо для расчетов балок на жесткость. Расчет на жесткость относится к второй группе предельных состояний. При изгибе балок рассматривают два вида перемещений – линейные и угловые. Линейные перемещения оси балки – это вертикальные перемещения, которые называются прогибами. В соответствии с введенными ранее обозначениями для перемещений будем обозначать прогибы буквой v. На рис. 9.1 пунктиром показана ось балки в деформированном состоянии, которая называется изогнутой осью балки. Уравнение изогнутой оси балки можно описать некоторой функцией .

Рис. 9.1. Перемещения в балке

Правило знаков для v. Прогибы балки считаются положительными, если происходят в сторону положительного направления оси у, т.е. вниз.

В сопротивлении материалов рассматриваются малые перемещения. В строительных конструкциях максимальные прогибы лежат в пределах 1/200-1/1000 длины балки. В балках возникают также и горизонтальные перемещения и, обусловленные, например, сближением концов балки. Эти перемещения намного меньше перемещений и, как правило, не рассматриваются. Существует отдельная задача изгиба гибких стержней (гибких нитей), в которых перемещения могут быть значительными, но в данном курсе эта задача не приводится.

Пренебрегая горизонтальными смещениями центров тяжести сечений, будем полагать, что центр тяжести сечения перемещается строго вертикально, при этом сечение поворачивается на угол . Эти углы поворота и называются угловыми перемещениями. Так же, как и прогибы, значения изменяются по длине балки, т.е. Следует отметить, что наличие поперечных сил приводит к искривлению сечений, однако с некоторым приближением можно считать, что и при поперечном изгибе справедлива гипотеза плоских сечений. Отсюда следует, что угол поворота сечения равен углу поворота касательной к изогнутой оси балки.

Правило знаков для j.Углы поворота сечений балки считаются положительными, если происходят в направлении хода часовой стрелки.

Перемещения в плоских стержневых системах. В плоских стержневых системах обычно находят три перемещения – два линейных и одно угловое. Линейные перемещения обозначают Δ с соответствующими индексами, а угловое – буквой . На рис. 9.2 пунктиром показана деформированная ось рамы и обозначены перемещения ее некоторых точек. Узел К перемещается вниз и вправо в положение К´, а также поворачивается в направлении часовой стрелки. В точке А ось стержня смещается вертикально и поворачивается, а в точках В и С происходят горизонтальные перемещения и углы поворота. Отметим, что жесткие узлы рам поворачиваются с сохранением прямого угла между смежными стержнями.

Рис. 9.2. Перемещения в раме

Формула Мора для определения перемещений в плоских стержневых системах

Формулой, имеющей огромное практическое значение для расчета конструкций на жесткость, является формула Мора (9.1), названная по имени немецкого механика и инженера Отто Христиана Мора (1835–1918).жесткость).

(9.1)

Иногда формулу (9.1) называют формулой Максвелла – Мора, а стоящий справа интеграл – интегралом Мора.

Замечание. В формуле (9.1) учитываются только те слагаемые, которые соответствуют конкретной задаче. При растяжении (сжатии) стержней отличными от нуля будут только продольные силы N, и остается только первое слагаемое (такой подход используется при вычислении перемещений в фермах при узловой нагрузке). Обычно, при расчете плоских стержневых систем, работающих, в основном, на изгиб (плоские рамы), пренебрегают членами с продольной и поперечной силами, что дает небольшую погрешность результатов (несколько процентов), а в формуле Мора оставляют только второе слагаемое.

Таким образом, для плоских рам формула Мора запишется в виде:

(9.2)

Здесь:

D_KF – обобщенное перемещение некоторой точки К от действия внешних нагрузок (подчеркнуто вторым индексом F);

– грузовая эпюра моментов (функция), полученная от внешних нагрузок;

– единичная эпюра моментов (функция), полученная от действия единичной обобщенной силы.

Так, для вычисления линейного перемещения какой-либо точки нужно приложить в этой точке единичную силу и написать функцию (или построить эпюру) от этой силы, после чего использовать формулу. Для вычисления угла поворота некоторого сечения вместо единичной силы следует приложить в соответствующей точке единичный момент и также найти функцию (построить эпюру) от этого момента. После этого необходимо воспользоваться формулой Мора.

Единичная сила и единичный момент являются безразмернымивеличинами, поэтому единичная эпюра при определении линейных перемещений имеет размерность длины, а при определении углов поворота является безразмерной.

Пример 9.1.Рассмотрим балку, показанную на рис. 9.3. Изгибающий момент в балке от действия равномерно распределенной нагрузки описывается функцией

Рис. 9.3. К примеру 9.1.

Для определения вертикального перемещения т. А приложим в этой точкеединичную силу .

Функция единичного момента имеет вид

Подставляя выражения для обоих моментов в формулу (9.1), получим:

.

Для определения угла поворота в той же точке приложим единичный момент направленный по часовой стрелке, предполагая, что угол поворота будет положительным. В этом случае Из формулы (9.1) находим