Статически определимые фермы

Классификация ферм. Геометрически неизменяемая стержневая система, загруженная внешними силами, приложенными в узлах, состоящая из прямых стержней, соединенных шарнирами, называется фермой.

Стальные конструкции железнодорожных мостов, строительных кранов, покрытий большепролетных зданий и др. состоят из прямых стержней, образующих треугольную решетку, причем стержни жестко соединены между собой в узлах при помощи сварки, заклепок или болтов. Расчеты показывают, что если внешние силы приложены исключительно в узлах (узловая нагрузка), то в стержнях таких конструкций возникают значительные продольные силы, а поперечные силы и изгибающие моменты оказываются небольшими и ими можно пренебречь. Если в расчетной схеме заменить жесткие узлы шарнирными, то поперечные силы и изгибающие моменты станут нулевыми, а продольные силы останутся практически теми же, что и в схеме с жесткими узлами. При этом расчеты значительно упрощаются, так как шарнирная конструкция становится статически определимой, что позволяет ограничиться для нахождения внутренних усилий только уравнениями статики. Однако, не надо забывать, что замена жестких узлов шарнирными возможна только при действии узловой нагрузки.

Может оказаться, что при движении транспорта по ферме нагрузка от колес будет передаваться на участки между узлами. Чтобы этого избежать, устраивают настил из коротких балочек, опоры которых расположены прямо над узлами. Подобная конструкция преобразует внеузловую нагрузку в узловую.

Фермы можно классифицировать по виду решетки. На рис. 8.7 изображены фермы треугольного (рис. 8.7, а, д), полигонального (рис. 8.7, б, г) очертания, а также фермы с параллельными поясами (рис. 8.7, в, е).

Характерными элементами ферм являются показанные на рис. 8.9,в верхний и нижний пояса, панель (часть пояса между шарнирами), раскос (наклонный стержень) и стойка (вертикальный стержень). Расстояние между опорами называют пролетом l. Важным параметром фермы является отношение ее высоты h к пролету l, которое на практике составляет 1/5…..1/10.

Рис. 8.7. Различные фермы

Ферма может быть консольной (рис. 8.7, д). Узловая нагрузка может быть приложена к верхнему (рис. 8.7,в) или нижнему поясу (рис. 8.7, а, д). Что касается движения транспорта по ферме, то различают фермы с движением по верхнему (рис. 8.7, г) или нижнему (рис. 8.7, б) поясам. Различают фермы также по форме ячейки. Фермы на рис. 8.7, а – д имеют N-образные ячейки, а на рис. 8.7, е V-образные. Существуют и другие виды ферм, расчет которых рассматривается в углубленных курсах строительной механики.

Расчет на неподвижную нагрузку. Опорные реакции в статически определимых фермах находятся путем составления уравнений равновесия, подобно тому, как это делается для балок. Отметим, что по характеру своей статической работы ферма и представляет собой балку. Так, при вертикальной узловой нагрузке, направленной вниз, в ферме на двух опорах стержни верхнего пояса сжимаются (верхние волокна), а нижний пояс растягивается. При рассмотрении способов расчета ферм, которые излагаются далее, будем считать, что опорные реакции известны.

Различают несколько способов определения внутренних усилий в фермах. По своей сути они являются разновидностями метода сечений, который обсуждался ранее.

Метод вырезания узлов состоит в следующем. Последовательно вырезают узлы, содержащие два сходящихся стержня и для каждого из них, записывают по два уравнения равновесия, из которых находят неизвестные усилия. Рассмотрим порядок определения усилий в ферме на рис. 8.8,а.

Рис. 8.8. Метод вырезания узлов

После нахождения опорных реакций определение внутренних усилий начинаем с узла А, так как в нем имеем два неизвестных усилия. Вырезаем узел А (рис. 8.8,б) и записываем два уравнения равновесия сумм проекций сил на оси х и y, из которых находим усилия N₁ и N₂, предположив их растягивающими (направленными от узла).

После этого переходим к узлу С (рис. 8.8,в), так как в нем, несмотря на наличие трех стержней, имеются два неизвестных (N₁ уже было найдено ранее). Так как усилие N₁ из второго равенства получается со знаком «минус», следовательно, направляем его к узлу С. Остальные неизвестные N₃ и N₄, предполагая их растягивающими, направляем от узла. Они определяются из уравнений равновесия.

Подобным образом последовательно вырезаем все узлы с двумя неизвестными и находим усилия в стержнях. В данной ферме наблюдается симметрия. Поэтому усилия в симметричных стержнях равны, что существенно уменьшает трудоемкость расчетов.

Метод вырезания узлов позволяет быстро определить нулевые стержни или стержни с известными усилиями. Рассмотрим несколько выводов (рис. 8.8).

Рис. 8.9. К определению «нулевых» стержней

Вывод 1. В незагруженном узле с двумя стержнями, усилия в стержнях равны нулю (рис. 8.9, а).

Отсюда

Вывод 2. В нагруженном узле с двумя стержнями, если линия действия силы совпадает с осью одного стержня, то в этом стержне усилие равно приложенной силе, а в другом стержне равно нулю (рис. 8.9, б).

Отсюда

Вывод 3. В нагруженном узле с тремя стержнями, если оси двух стержней совпадают, а линия действия силы совпадает с осью третьего стержня, то усилия в первых двух стержнях равны, а усилие в третьем стержне равно приложенной силе (рис. 8.9, в).

Отсюда

Метод моментной точки состоит в том, что ферма мысленно рассекается сечением, которое проходит максимум через три стержня, а затем составляется уравнение равновесия моментов, записываемое для точки, относительно которой моменты двух из трех стержней, которые попадают в разрез, равны нулю (внутренние усилия имеют нулевые плечи).

Пусть надо найти усилия в стержнях 4, 5 и 7 фермы на рис. рис. 8.10. Проводим сечение через три указанных стержня, отбрасываем правую часть и рассматриваем равновесие левой части. В местах рассечения приложим неизвестные пока усилия, предполагая их растягивающими, то есть направим их от сечений.

Для определения усилия N₅ составим уравнение моментов относительно точки О, которая находится на пересечении линий действия N₄ и N₇.

Плечи усилий N₄ и N₇ равны нулю. Плечи сил Р и R_A можно найти или измерить. Поэтому усилие N₅ легко определяется из уравнения с одним неизвестным.

Для определения N₇ нужно составить уравнение равновесия относительно моментной точки D.

Рис. 8.10. К методу моментной точки

Наконец, из следующего уравнения моментов относительно моментной точки E определяем усилие N₄

Метод проекций применяется для ферм с параллельными поясами, когда нужно найти усилия в раскосах или стойках. Проводят сечение через три стержня, а затем составляют уравнение проекций сил для одной из частей на вертикальную ось (рис. 8.11).

Рис. 8.11. К методу проекций

Предполагая, что ось y направлена вверх, для определения N₁ запишем уравнение проекций сил на эту ось для левой части фермы

N₂ и N₃ в уравнение не вошли, так как имеют нулевые проекции на вертикальную ось.

После выполнения второго сечения, для левой части также составим похожее уравнение для нахождения усилия N₅ в стойке