Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Критерий совместности общей системы линейных уравнений ⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 5
Как уже было отмечено, под общей системой линейных уравнений мы понимаем систему (2) в которой число неизвестных необязательно совпадает с числом уравнений. Пусть дана общая система линейных уравнений (2)и требуется установить признак существования решения этой системы, т.е. условия, при которых система (2)является совместной. Из коэффициентов при неизвестных и свободных членов системы (2) составим матрицу a11 a12 … a1n A = a21 a22 … a2n …………………… am1 am2 … amn которую назовем основной матрицей системы (2), и матрицу a11 a12 … a1n b1 B = a21 a22 … a2n b2 ……………………… …… (13) am1 am2 … amn bm которую назовем расширенной матрицей системы (2). Теорема 2.1. Для того чтобы система (2) линейных неоднородных уравнений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы системы был равен рангу ее основной матрицы. Доказательство. Необходимость. Пусть система (2) совместна и c1, c2,..., сп – некоторое ее решение. Тогда имеют место равенства: а11с1 + а12с2 + …+ а1nсn = b1; а21с1 + а22с2 + …+ а2nсn = b2; . …………………………………… аm1с1 + аm2с2 + …+ аmnсn = bm
из которых следует, что последний столбец расширенной матрицы (13) есть линейная комбинация остальных ее столбцов с коэффициентами с1, с2,..., сп. Согласно предложению 2, последний столбец матрицы В может быть вычеркнут без изменения ее ранга. При этом мы из матрицы В получим матрицу А. Таким образом, если ci, cz,..., сп — решение системы уравнении (2), то rang А = rang В. Достаточность. Пусть теперь rang A = rang В. Покажем, что при этом система уравнений (2) совместна. Рассмотрим r базисных столбцов матрицы А. Очевидно, что они будут базисными столбцами и матрицы В. Согласно теореме о базисных строках и столбцах, последний столбец матрицы В можно представить как линейную комбинацию базисных столбцов, а следовательно, и как линейную комбинацию всех столбцов матрицы А, т.е. b1 = а11с1 + а12с2 + …+ а1nсn; b2 = а21с1 + а22с2 + …+ а2nсn; . ………………………………… bm = аm1с1 + аm2с2 + …+ аmnсn
где c1, c2,..., сп — коэффициенты линейных комбинаций. Таким образом, системе (14) удовлетворяют значения x1 = c1,..., хп = сп, следовательно, она совместна. Теорема доказана. Доказанная теорема совместности системы линейных уравнений называется теоремой Кронекера – Капелли.
Пример 1. Рассмотрим систему 5x1 – x2 + 2x3 + x4 = 7; 2x1 + x2 – 4x3 – 2x4 = 1; x1 – 3x2 + 6x3 – 5x4 = 0. Ранг основной матрицы этой системы равен 2, так как существует отличный от нуля минор второго порядка этой матрицы, а все миноры третьего порядка равны нулю. Ранг расширенной матрицы этой системы равен 3, так как существует отличный от нуля минор третьего порядка этой матрицы. Согласно критерию Кронекера – Капелли система несовместна, т.е. не имеет решений. Используя критерий Кронекера – Капелли, проведем исследование системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными x и y: a1x + b1y = c1, a2x + b2y = c2. (13)
Основная матрица этой системы a1 b1 a2 b2 имеет ранг r, причем 0 < r < 2. Расширенная матрица
a1 b1 с1 a2 b2 с2
имеет ранг R, причем 0 < r < R. Очевидно, что r < R < r+1. Имеют место следующие утверждения. Пусть дана система двух линейных уравнений с двумя неизвестными (13). Тогда: 1. Если r = R = 0, т.е. если все коэффициенты a1, a2, b1, b2, c1, c2 равны нулю, то любая пара действительных чисел является решением системы (13). 2. Если r = 0, R = 1, т.е. a1 = a2 = b1 = b2 = 0 и c + c ≠ 0, то система (13) не имеет решений. 3. Если r =1, R = 1, то система (13) имеет бесконечно много решений, но не любая пара действительных чисел есть её решение. 4. Если r = 1, R = 2, то система (13) не имеет решений. 5. Если r = 2, R = 2, то система (13) имеет единственное решение, которое можно найти по правилу Крамера. Справедливы и обратные утверждения. 1. Если система (13) имеет единственное решение, то r = R =2. 2. Если любая пара действительных чисел является решением системы (13), то r = R = 0. 3. Если система (13) не имеет решений, то r ≠ R, т.е. либо r =0 и R = 1, либо r =1 и R = 2. 4. Если система (13) имеет бесконечно много решений, но не любая пара действительных чисел является её решением, то r = R = 1. Приведём доказательство этих утверждений только в том случае, когда оба уравнения системы (13) являются уравнениями первой степени, т.е. когда выполняются условия a + b ≠ 0, a + b ≠ 0. В этом случае каждое уравнение этой системы в отдельности определяет прямую на плоскости, где задана система координат xOy. Это дает возможность придать геометрический характер дальнейшим рассуждениям при исследовании системы (13) Теорема 2.2. Пусть две прямые заданы уравнениями a1x + b1y – c1 = 0, a2x + b2y – c2 = 0, (14) где a + b ≠ 0, a + b ≠ 0. 1. Для того, чтобы две прямые пересеклись, необходимо и достаточно, чтобы r = R = 2. 2. Для того, чтобы две прямые были параллельными, но не совпадали, необходимо и достаточно, чтобы r = 1, R = 2. 3. Для того, чтобы две прямые совпадали, необходимо и достаточно, чтобы r = R = 1. Доказательство. Сначала докажем достаточность условий. 1. Если r = R = 2, то система (14) имеет единственное решение, которое легко найти по правилу Крамера, а это означает, что прямые имеют одну общую точку, т.е. пересекаются. 2. Если r = 1, R = 2, то система (14) несовместна и поэтому прямые не имеют общих точек, т.е. параллельны и не совпадают. 3. Если r = R = 1, то все миноры второго порядка основной и расширенной матриц равны нулю, т.е. a1 b1 = 0, c1 b1 = 0, a1 c1 = 0. a2 b2 c2 b2 a2 c2 Эти условия можно переписать так: a1b2 = b1a2, (15) c1b2 = b1c2, (16) a1c2 = c1a2. (17) Рассмотрим теперь все возможные случаи. а) Если а1 = 0, то b1 ≠ 0, так как a1 + b1 ≠ 0. Тогда из (15) следует, что а2 = 0, а так как a2 + b2 ≠ 0, то b2 ≠ 0. Тогда из (16) находим, что c1/b1 = c2/b2 = α и при этом уравнения прямых примут вид b1(y – α) = 0, b2(y – α) = 0. Поскольку b1 ≠ 0, b2 ≠ 0, то отсюда вытекает, что эти прямые совпадают с прямой y – α = 0. б) Если b1 = 0, то а1 ≠ 0, а из (15) тогда следует, что b2 = 0(причем а2 ≠ 0). Тогда из (17) имеем c1/a1 = c2/a2 = β, и поэтому уравнения прямых примут вид а1(x – β) = 0, а2(x – β) = 0. Поскольку а1 ≠ 0, а2 ≠ 0, то отсюда вытекает, что эти прямые совпадают с прямой x – β = 0. в) Если а1 ≠ 0 и b1 ≠ 0, то из (15) вытекает, что а2/a1 = b2/b1 = γ, а из (16) и (17) вытекает, что с2 = b2c1/b1 = a2c1/a1. Т.е. получаем, что а2 = γа1, b2 = γb1, c2 = γc1, и поэтому уравнения прямых примут вид a1x + b1y – c1 = 0, γ(a1x + b1y – c1)= 0. Поскольку γ ≠ 0, то отсюда вытекает, что эти прямые совпадают. Теперь докажем необходимость условий. Доказательство проведём методом от противного. 1. Пусть прямые пересекаются. Докажем, что r = R = 2. Если бы оказалось, что r = 1, R = 2, то по доказанному прямые были бы параллельны и не совпадали. Если бы оказалось, что r = R = 1, то по доказанному прямые оказались бы совпавшими. Следовательно, r = R = 2. 2. Пусть прямые параллельны. Докажем, что r = 1, R = 2. Если бы оказалось, что r = R = 2, то по доказанному прямые оказались бы пересекающимися. Если бы оказалось, что r = R = 1, то по доказанному прямые оказались бы совпавшими. Следовательно, r = 1, R = 2. 3. Пусть прямые совпадают. Докажем, что r = R = 1. Если бы оказалось, что r = R = 2, то по доказанному прямые оказались бы пересекающимися. Если бы оказалось бы, что r = 1, R = 2, то по доказанному прямые были бы параллельны. Следовательно, r = R = 1.
Заключение Список использованной литературы 1. Апатенок Р.Ф. и др. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии / Р.Ф. Апатенок и др. - Минск:, 1986. - 272 с. 2. Апатенок Р.Ф. и др. Сборник задач по линейной алгебре и аналитической геометрии / Р.Ф. Апатенок и др. - Минск. Высш. шк., 1990. - 286 с. 3. Барковский В.В., Барковская Н.В. Математика для экономистов / В. В Барковский, Н. В. Барковская // Высшая математика. - К.: Национальная академия управления, 1999. - 399 с. 4. Волков Е.А. Численные методы / Е. А. Волков. – М.: Наука, 1987. – 254 с. 5. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах / П. Е. Данко и др. Ч.I. - М.: Высш. шк., 1986. - 304 с. 6. Калиткин Н.Н. и др.Численные методы / Н.Н Калиткин и др. – М.: Наука, 1982. – 398 с. 7. Калиткин Н.Н. Численные методы / Н. Н. Калиткин. – М.: Наука, 1987. – 512 с. 8. Коллатц Л, Альберхт Ю. Задачи по прикладной математике / Л. Коллатц, Ю. Альберхт. Мир., М.,1998. 9. Мудров А.Е. Численные методы для ПЭВМ на языках БЕЙСИК, ФОРТРАН и ПАСКАЛЬ / А. Е. Мудров. – Томск, МП "Раско", 1992. – 270 с. 10.Обгадзе Т.А. . Элементы математического моделирования / Т.А. Обгадзе // Учебное пособие. Грузинский Политехнический Институт им. В.И. Ленина, Тбилисси, 1999. 11.Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы / А. А. Самарский, А. В. Гулин. – М.: Наука, 1989. – 432 с. 12. Т. К. Шуп. Решение интегральных задач на ЭВМ / Т. К. Шуп. - М., 2002. – 324 с. 13.http://nestudent.ru/show.php?id=41888 |
||
Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 266. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |