Таким образом, уравнение (3) можно записать в виде

∆х =∆x_i,

откуда при ∆ ≠ 0

х = ——

Придавая индексу i значения 1, 2, …, n, получаем:

х₁ = ——;

х₂ = ——;                    (4)

 ………………

х_n = ——.

Рассмотренный метод решения системы уравнений называется правилом Крамера, а формулы (4) – формулами Крамера.

2.5 Однородная система п линейных уравнений, с n неизвестными

Линейное уравнение называется однородным, если его свободный член равен нулю. Система линейных уравнений называется однородной, если все входящие в нее уравнения являются линейными однородными уравнениями.

Однородная система п линейных уравнений с п неизвестными имеет вид:

а₁₁х₁ + а₁₂х₂ + …+ а_1nх_n = 0;

а₂₁х₁ + а₂₂х₂ + …+ а_2nх_n = 0; (5)

…………………………………

а_n1х₁ + а_n2х₂ + …+ а_nnх_n = 0.

Непосредственной проверкой убеждаемся в том, что однородная система линейных уравнений (5) имеет нулевое решение:

х₁ = 0, х₂ = 0,..., х_п = 0.

Таким образом, однородная система линейных уравнений (5) всегда

совместна. Поэтому важно выяснить, при каких условиях она является определенной. Покажем, что однородная система п линейных уравнений с п неизвестными имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда определитель ее равен нулю.

В самом деле, пусть D = 0. Так как однородная система уравнений является частным случаем неоднородной системы, то к ней применимо правило Крамера. Но для однородной системы все Dx_i = 0, так как каждый из этих определителей содержит столбец из нулей (b_i = 0). Поэтому система, равносильная системе (3), будет иметь вид

D_x1= 0, D_x2=0;...,D_xn= 0

Из этой системы следует, что однородная система (5) имеет единственное нулевое решение, если Δ 0; если же D = 0, то из условий (3) следует, что она имеет бесчисленное множество решений.