Критерий устойчивости Гурвица.

При рассмотрении алгебраических критериев используются лишь коэффициенты характеристического уравнения и необходимые и достаточные условия устойчивости систем.

Необходимое условие является справедливым для всех систем:

Все коэффициенты характеристического уравнения должны быть положительными      

Необходимое условие является и достаточным для систем 1-го и 2-го порядка.

Для устойчивости линейной САУ по критерию Гурвица необходимо и достаточно, чтобы были положительными n главных определителей матрицы коэффициентов характеристического уравнения заданной системы (знаменатель передаточной функции):

Матрица коэффициентов

По диагонали от левого верхнего угла до правого нижнего выписывают все коэффициенты по порядку от а₁ до аn. Каждая строка дополняется коэффициентами с возрастающими индексами слева направо так, чтобы чередовались строки с чётными и нечётными индексами. В случае отсутствия даннного коэффициента или если его индекс <0 или >n, то на его место пишется 0.

а1 а3 а5 ………0                        1=а1>0

а0 а2 а4 ………0                                 а1 а3  

0 а1 а3 а5…....0                          2= а0 а2

……………….                                  а1 а3 а5

……………..аn                                         3= а0 а2 а4                                

0 а1 а3

                                                   …………………

                                                    n =аn* n-1

Если аn=0 , то имеет место апериодическая граница устойчивости.

Если n₁=0, то это колебательная граница устойчивости.

Критерий Раусса.

Так же базируется на коэффициентах характеристического уравнения, из которого строится таблица.

Для устойчивости систем по критерию Раусса необходимо и достаточно чтобы при а0>0 все коэффициенты первого столбца таблицы Раусса были положительными.

         b1=(a1*a2-a0*a3)/a1

         b2=(a1*a4-a0*a5)/a1

         b3=(a1*a6-a0*a7)/a1

         b4=(a1*a8-a0*a9)/a1

         c1=(b1*a3-a1*b2)/b1

         c2=(b1*a5-a1*b3)/b1……

Для устойчивости системы все коэффициенты 1-го столбца должны быть больше 0

а0>0, a1>0…

Частотные критерии

Критерий Михайлова.

Критерий базируется на поведении кривой, которую описывает конец вектора (X(ω),Y(ω)) замкнутой системы при изменении частоты от 0 до +    .

Возьмём характеристический полином следующего вида:

                    (1)

Подставим в него  и выделим вещественную и мнимую части.

 - вещественная часть,

 - мнимая часть.

Изобразим годограф Михайловавыражения на комплексной плоскости.

Берём значения  и строим годограф. Для различных  годограф имеет формы, представленные на рисунке. Эти годографы называются кривыми Михайлова.Кривая Михайлова строится по точкам, рассчитывается и  для данной частоты, на кривой указываются значения частоты.

Формулировка критерия Михайлова.

Чтобы САР была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы вектор D(jω) при изменении частоты от 0 до +∞ начал движение с точки, лежащей на положительной вещественной оси, и, вращаясь только против часовой стрелки и нигде не обращаясь в нуль, прошел последовательно n квадрантов комплексной плоскости, повернувшись на угол n∙π/2, где n – степень характеристического уравнения D(jω)=0

Другими словами, требуется, чтобы кривая Михайлова проходила последовательно  квадрантов против часовой стрелки, всё время огибая начало координат и уходила в   в том квадранте, номер которого соответствует показателю степени полинома. Если это условие не выполняется, то система является неустойчивой.

Устойчивая                      Неустойчивая                Апериодическая               Колебательная                                   

                                                                                   граница устойчивости   граница устойчивости

Другая формулировка критерия Михайлова:

Она состоит в использовании свойства перемежаемости корней многочленов и .

Идя по кривой Михайлова от т.  в направлении возрастания частоты, мы выходим из оси , затем пересекаем ось , потом снова  и т. д.

Это значит, что корни уравнений  и  должны следовать поочерёдно друг за другом.

Кривые  и  имеют приблизительно такой вид:

Перемежаться должны корни , , ,… Между ними должно быть следующее соотношение:   

Условием устойчивости системы является перемежаемость корней полиномов вещественной и мнимой частей комплексной передаточной функции. Нарушение этого условия говорит о неустойчивости системы.