Энергия электростатического поля.

Всякий конденсатор при заряде поглощает некоторое количество энергии от источника питания. Эту энергию он накапливает в электрическом поле, имеющимся в его диэлектрике. Определим величину этой энергии для плоского конденсатора. По мере заряда конденсатора растёт его q, получаемый от источника питания и растёт U на его обкладках.

          q = c

Работа, которую совершил источник по переносу заряда на на конденсаторе при его зарядке численно равна площади ∆ ОQB, у которого:

Основание ─ Q ─ полный заряд конденсатора.

Высота ─U ─ напряжение на конденсаторе после окончания зарядки.

       q=c        

Заменив q на его значение, а  на W, получим W =

C ─ Фарада

U ─ Вольт

W ─ Джоуль

Энергия электростатического поля распределена по всему объёму этого поля с конечной плотностью, величина которого ~ , т. е.

 =  

─ Объёмная плотность энергии поля в Дж/

Е ─Напряженность электростатического поля в В/М

 ─ 8, 85 Ф/м ─ диэлектрическая проницаемость вакуума.

 ─ относительная диэлектрическая проницаемость среды, где распределено электростатическое поле.

Если электростатическое поле однородное, то W =

V ─ объём в V = S

Пример: Требуется определить энергию, запасённую в электростатическом поле плоского конденсатора, если площадь каждой из обкладок S = 0,004 , расстояние между обкладками d = 0,001 м, относительная диэлектрическая проницаемость  = 5 и U на обкладках равно 120 Вольт. Электростатическое поле можно считать однородным.

Е

Энергия поля равна  =  =  = 0,318 Дж/

Объём электростатического поля: V =S

Энергия, запасённая конденсатором: W  Дж.

Контрольные вопросы:

1.Изобразите картину электрического поля положительного точечного заряда. В каком направлении станет перемещаться пробный отрицательный заряд, помещенный в такое поле.

2.Какое поле называется электростатическим?

3.Что такое напряженность электрического поля?

.

Законы Кирхгофа

Направление тока выбирается произвольно. Если окажется, что токи имеют отрицательное значения, то значит, в действительности они имеют обратное направление. Для определения токов необходимо составить 3 уравнения, связывающих эти токи. На основании первого закона Кирхгофа:

для узла с : I₁ + I₂  I₃ = 0

для узла f : I₃  I₂  I₁ = 0

По этому методу число составленных уравнений должно быть на единицу меньше, чем число узлов. На этой схеме 2 узла, значит должно быть одно уравнение. Всего для определения трех токов необходимо три уравнения.

Остальные две составляем на основе второго закона Кирхгофа. Определим потенциал точки a, совершив обход по контуру по часовой стрелке:

_a = _a + E₁  I₁r_вт.1  I₁R₁ + I₂R₂  E₂ + I₂r_вт.2

Перенесем Е в одну часть уравнения:

E₁  E₂ = I₁r_вт.1 + I₁R₁  I₂R₂  I₂r_вт.2

В общем виде:  =

Алгебраическая сумма ЭДС равна алгебраической сумме падений напряжения этого контура.

Для контура ƒcde:

 E₂ = I₂r_вт.2 + I₂R₂ + I₃R₃

Пример к расчету методом узловых и контурных уравнений. Определить ток, применяя узловые и контурные уравнения и составить баланс мощности для цепи. У цепи два узла a и b составляем одно узловое уравнение по закону Кирхгофа для узла b.

I₁ + I₂ + I₃ = 0

Цепь имеет три ветви, поэтому нужно составить еще два независимых контурных уравнения (по второму закону Кирхгофа). Для контура с ветвями 1 и 2

E₁ + E₂ = R₁I₁  R₂I₂

Для контура с ветвями 2 и 3 (это новая ветвь)

E₂ = R₂I₂  R₃I₃

После подстановки численных значений Е₁ = 225 В, Е₂ = 200 В, R₁ = R₂ = 1 Ом, R₃ = 2 Ом.

Получаем систему трех уравнений с тремя неизвестными токами I₁, I₂, I₃.

I₁ + I₂ + I₃ = 0

225 + 200 = 1I₁  1I₂

200 = 1I₂  2I₃

Подставим ток  I₁ = -I₂ – I₃  из первого уравнения во второе и получим систему двух уравнений

425 = -2I₂  I₃

200 = I₂  2I₃

Умножим последнее уравнение на 2 и сложим со вторым:

25 = -5I₃ откуда I₃ = -5A и из последнего уравнения

200 = 1I₂ + 2 5 т.е. I₂ = -200 A

Из узлового уравнения определим I₁= 215 A

Мощность, развиваемая первым источником

P_ист1 = Е₁  I₁ = 225  215 = 48375 Вт = 48,375 кВт

У второго источника I₃ направлено против ЭДС, но численное значение этого тока отрицательное, т.е. действительное направление тока I₂ совпадает с направлением ЭДС. Поэтому и второй источник работает в режиме генератора с разветвленной мощностью:

P_ист2 = Е₂  I₂ = 200  210 = 42000 Вт

Мощность и преобразования электрической энергии в другие виды, в приемниках

P₁ = R₁I₁  = 1 215²= 46225 Вт

P₂ = R₂I₂  = 1 (-210)²= 44100 Вт

P₃ = R₃I₃  = 2 (-5)²= 50 Вт

Составим баланс мощностей

P_ист1 + P_ист2 = P₁ + P₂ + P₃ или

90375 = 90375

Что подтверждает правильность расчетов токов.

Метод узловых потенциалов (напряжений).

Метод узловых потенциалов требует совместного решения меньшего числа независимых уравнений по сравнению с методом узловых и контурных уравнений, что сокращает расчеты. Он основан на применении первого закона Кирхгофа, обобщенного закона Ома.

Рассмотрим его применении для отдельных ветвей, представленных на рисунках:

Сопротивления R₁ и R₂ - это суммарные элементов каждой из ветвей. ЭДС в общем случае могут быть суммами ЭДС в каждой из ветвей. Для токов указаны выбранные положительные направления.

1. Запишем потенциалы точек а и с :

_а = _в + Е₁ + R₁I₁ ; _c = _d  Е₂ + R₂I₂

2. Определим токи через разности потенциалов:

I₁ =  =  ; I₂ =  =  ;

Эти зависимости токов от напряжения между выводами ветви и её параметрами называются обобщенным законом Ома.

Расчет токов методом узловых потенциалов.

Рассмотрим на примере:

Для двух узлов можно составить независимую систему уравнений по первому закону Кирхгофа. Например: для узлов А и Б

I₁ – I₄ – I₃ = 0 ; -I₁ + I₄ + I₅ – I₂ = 0

Токи I₁ и I₂ запишем по обобщенному закону Ома:

I₁ =   ; I₂ =  ;

а остальные токи по закону Ома:

I₃ =  ; I₄ =  ; I₅ =  ;

Потенциал одной из точек можно принять равным нулю. Например, _В = 0 и подставим выражения для токов в уравнения, составленные по первому закону Кирхгофа:

1) Для узла А:  = 0;

2) Для узла Б:  = 0;

Если заменить сопротивления ветвей проводимостью: g =  (См), и перенести слагаемые с ЭДС в правую часть уравнения, то получим:

1) Для узла А: (g₁ + g₄ + g₃) _А (g₁ + g₄) _Б = -g₁Е₁  (1)

2) Для узла Б: (g₁ + g₄) _А + (g₁ + g₄ + g₅ + g₂) _Б = g₂Е₂  (2)

Из полученной системы уравнений после совместного решения определяются неизвестные величины, а именно потенциалы узлов _А и _Б.

Сумма проводимостей ветвей, присоединенных к узлу, называется собственной узловой проводимостью: g_А = g₁ + g₃ + g₄, т.к. к узлу А присоединены 1-я, 3-я, и 4-я ветви.

Сумма проводимостей ветвей, соединяющих два узла, называется общей узловой проводимостью: g_АБ = g₁ + g₄. Систему уравнений (1)и (2) можно составить сразу, учитывая что собственная проводимость входит со знаком “+” , а перед общей проводимостью стоит знак “ ”.

В правой части в общем случае записываются алгебраические суммы произведений gЕ (со знаком “+” для ЭДС, направленных к узлу, для которого составляется уравнение, и со знаком “ ” для ЭДС, направленных от узла). Следовательно:

Таким образом, уравнение для данного узла содержит произведение потенциала узла на сумму проводимостей всех ветвей, присоединенных к этому узлу, и произведения потенциалов других узлов на общие проводимости.

Пример расчета.

Методом узловых потенциалов определить токи в цепи с параметрами:

R₁ = 2 Ом; R₂ = 10 Ом; R₃ = R₅ = 4 Ом; r_вт4 = 1 Ом; R₄ = 3 Ом; Е'₁ = 2 В;

Е"₂ = 20 В; Е₄ = 4 В; Е₅ = 6 В; _В = 0.

Решение. Для цепи с тремя узлами нужно составить два узловых уравнения, например, для узлов А и Б: (предварительно выбрав положительные направления токов).

Для узла А: I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = 0

Для узла Б: I₄  I₃ + I₅ = 0

Каждый из токов запишем по обобщенному закону Ома или по закону Ома:

I₁ =  =  =  0,5 _A + 0,5  18;

I₂ =  =  = 0,1 _A;

I₃ =  =  = 0,25 _A  0,25 _Б;

I₄ =  =  = 0,25 _A  0,25 _Б + 0,25  4;

I₅ =  =  = 0,25 _Б + 0,25  6;

Подставим эти значения токов в узловые уравнения:

0,5 _A  0,5  18 + 0,1 _A + 0,25 _A  0,25 _Б + 0,25 _A  0,25 _Б + 0,25  4 = 0

0,25 _A + 0,25 _Б  0,25  4  0,25 _A + 0,25 _Б + 0,25 _Б + 0,25  6 = 0

или

1,1 _A  0,5 _Б = 9  1;

 0,5 _A + 0,75 _Б = 1  1,5;

Из полученных двух уравнений находим неизвестные потенциалы:

_A = 10 В; _Б = 6 В;

Последнюю систему уравнений можно составить сразу. Например: в 1- Ом уравнении:

1) Сумма проводимостей ветвей, присоединенных к узлу А:

g_А = g₁ + g₂ + g₃ + g₄ = 0,1 + 0,5 + 0,25 + 0,25 (См);

2) Сумма проводимостей ветвей, соединяющих узлы А и Б:

g_АБ = g₃ + g₄ = 0,25 + 0,25 (См);

= g₁Е₁ – g₄Е₄ = 0,5  18 - 0,25  4 (А) – правая часть уравнения

3) Сумма проводимостей ветвей, присоединенных к узлу Б:

g_Б = g₃ + g₄ + g₅ = 0,25 + 0,25 + 0,25 (См);

= g₄Е₄ – g₅Е₅ = 0,25  4 - 0,25  6 (А).