Стоимость основных производственных фондов

Примеры решения задач по теме

  «Метод выборочных наблюдений»

 Механический и собственно-случайный отбор

Задача 6.1

В районе А проживает 2500 семей. Для проведения обследования выбрано 50 семей методом механического (или собственно-случайного) бесповторного отбора. Результате обследования о количестве детей в семье приведены в табл.6.4.

Таблица 6.4

Число детей в семье

   Определить среднюю ошибку выборочной средней количества детей в семье и с вероятностью 0,997 пределы, в которых находится среднее количество детей в семье в районе А. 

   Решение 

   Средняя ошибка выборочной средней определяется по следующей формуле (см.табл. 6.2)

где n    – численность выборки;

   N    – численность генеральной совокупности;

     – дисперсия признака x .

   Дисперсия  и среднее выборочное значение определяется по формулам 

   Расчет среднего и дисперсии числа детей в семье в выборочной совокупности приведены в табл. 6.5.

Таблица 6.5

Расчет среднего числа и дисперсии детей в семье

Число детей в семье	Количество семей
0 1 2 3 4 5	10 20 12 4 2 2	0 20 24 12 8 10	–1,48 –0,48 0,52 1,52 2,52 3,52	–14,8 – 9,6 6,24 6,08 5,04 7,04	21,9040 4,6080 3,2448 9,2416 12,7008 24,7808
Итого	50	74	–	0	76,4800

Среднее число детей в семье

   Дисперсия числа детей в семье

   Средняя ошибка числа детей в выборке составляет

   Значению вероятности 0,997 соответствует значение гарантийного коэффициента  Тогда предельная ошибка выборочной средней

  Значение генеральной средней определяется

   Пределы, в которых находится среднее число детей в семье в районе А:

  С вероятностью 0,997 можно утверждать, что число детей в семьях района А колеблется от 0,99 до 2,01 человека ( от 1 до 2 человек).

Задача 6.2

      Методом собственно-случайного (или механического) повторного отбора было взято для проверки на вес 200 штук деталей. В результате проверки был установлен средний вес деталей 30 г при среднем квадратическом отклонении 4 г.

  С вероятностью 0,954 определить пределы, в которых находится средний вес деталей в генеральной совокупности.

   Решение

   Средняя ошибка среднего веса деталей в выборке (выборочной средней)

   Предельная ошибка выборочной средней с вероятностью 0,954 (гарантийный коэффициент ) составит

   Верхняя граница генеральной средней

   Нижняя граница генеральной средней

   С вероятностью 0,954 можно утверждать, что средний вес детали колеблется в пределах

Задача 6.3

     Методом собственно-случайного (или механического) бесповторного отбора из общей численности работников предприятия (5 тыс.чел.) было отобрано 500 работников. Установлено, что 20% работников в выборке старше 60 лет.

   Определить с вероятностью 0,683 пределы, в которых находится доля работников предприятия в возрасте старше 60 лет.

   Решение

   Средняя ошибка выборочной доли работников старше 60 лет определяется следующим образом (см. табл. 6.2)

   С вероятностью 0,683 (гарантийный коэффициент ) предельная ошибка выборочной доли работников старше 60-ти лет составит

   Верхняя граница генеральной доли

   Нижняя граница генеральной доли

   С вероятностью 0,683 можно утверждать, что доля работников в возрасте старше 60 лет на предприятии колеблется от 18,3% до 21,7%.

Задача 6.4

     При обследовании 100 изделий, отобранных из партии методом механического (или собственно-случайного) повторного отбора, 10 изделий оказались дефектными.

Определить с вероятностью 0,866 пределы, в которых находится доля дефектных изделий в партии.

   Решение

   Доля дефектной продукции в выборочной совокупности

   Средняя ошибка выборочной доли дефектных изделий равна (см.табл.6.2)

   Предельная ошибка выборочной доли с вероятностью 0.866 (гарантийный коэффициент ) составит

   С вероятностью 0,866 можно утверждать, что доля дефектной продукции в партии колеблется от 5,5% до 14,5%.

Задача 6.5

     В районе А проживает 2000 семей. Предполагается определить средний размер семьи в районе по выборке, взятой методом механического (или собственно-случайного) бесповторного отбора. При этом с вероятностью 0,997 ошибка среднего размера семьи в выборке (выборочной средней) не должна превышать 0,8 человека при среднем квадратическом отклонении в размере семьи 2 человека.

   Определить необходимую численность выборки для определения среднего размера семьи в районе.

   Решение

   Необходимая численность выборки (см. табл. 6.3) при вероятности 0,997 (гарантийный коэффициент ) определяется следующим образом:

   Проверка. Средняя ошибка среднего размера семьи составляет

   Предельная ошибка выборочной средней при вероятности 0,997 ( )

 не превышает заданной ошибки 0,8 чел.

Задача 6.6

     Для определения средней длины детали необходимо провести выборочное обследование методом случайного (или механического) повторного отбора.

Определить, какое количество деталей необходимо отобрать (численность выборки), чтобы ошибка выборки (ошибка выборочной средней) не превышала 2 мм с вероятностью 0,988 при среднем квадратическом отклонении 8 мм. 

Решение 

Необходимая численность выборки в случае повторного собственно-случайного (или механического) отбора (см. табл. 6.3) при вероятности 0,997 (гарантийный коэффициент ) определяется следующим образом:

   Проверка. Средняя ошибка средней длины детали составляет

   Предельная ошибка выборочной средней при вероятности 0,988 ( ) составляет  что соответствует условию задачи.

Задача 6.7

     В городе А имеется 10 тыс.семей. С использованием метода выборочных наблюдений предполагается определить долю семей с числом детей три и более.

Определить численность выборки, чтобы при механическом (или собственно-случайном) отборе с вероятностью 0,954 ошибка выборки (доли семей с числом детей три и более) не превышала 0,02, если на основе предыдущих обследований известно, что дисперсия равна 0,2.

   Решение  

   Необходимая численность выборки для определения доли семей с числом детей три и более (см.табл.6.3) при вероятности 0,954 (гарантийный коэффициент ) определяется

– для бесповторного отбора

– для повторного отбора

Задача 6.8

     Для изучения оснащения 500 предприятий основными производственными фондами было проведено 10%-е выборочное обследование методом собственно-случайного (или механического) отбора, в результате которого получены данные о распределении предприятий по стоимости основных производственных фондов (табл. 6.6).

Таблица 6.6

Стоимость основных производственных фондов

   Определить:

  – с вероятностью 0,997 предельную ошибку выборочной средней и границы, в которых будет находиться среднегодовая стоимость основных производственных фондов всех предприятий генеральной совокупности;

   – с вероятностью 0,954 предельную ошибку выборки при определении доли и границы, в которых будет находиться удельный вес предприятий со стоимостью основных производственных фондов свыше 40 млн р.;

– объемы выборочной совокупности

при условии, что:

   – предельная ошибка выборки при определении среднегодовой стоимости основных производственных фондов с вероятностью 0,997 была бы не более 5 млн р.;

   – предельная ошибка доли предприятий со стоимостью основных производственных фондов свыше 40 млн р. с вероятностью 0,954 была бы не более 15%.

    Решение

   Для определения границ генеральной средней необходимо вычислить среднюю выборочную  и дисперсию , расчет которых приведен в табл. 6.7.

Таблица 6.7