Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
ОГРАНИЧЕННЫЕ СВЕДЕНИЯ О МНОЖЕСТВЕ ДОПУСТИМЫХ ЗНАЧЕНИЙ
Аналогичные предыдущим результаты получаются в том случае, когда априорная информация относительно l, ограничена знанием только множества L допустимых значений l. При этом наименее предпочтительное распределение, естественно, обращается в нуль для lÎL, а минимаксное решение в довольно широких условиях совпадает с оценкой максимального правдоподобия, вычисленной при нахождении максимума функции правдоподобия по ограниченному множеству значений lÎL. Рассмотрим для примера достаточно важный и широко распространенный на практике случай, о котором шла речь в § 3.1, когда допустимое множество значений l={l1, ... ... ln} ограничено совокупностью гиперповерхностей в n-мерном пространстве, задаваемых с помощью соотношения , (5.3.1) где f( ) - некоторая векторная функция f( )={f1( ), ..., fn( )} векторного параметра ={ 1, ., n}, (m<n), который может принимать любые значения в m-мерном евклидовом пространстве. В этом случае функция правдоподобия для интересующих нас значений lÎL, где множество L задается с помощью (5.3.1), (5.3.2) является фактически функцией только параметра а. Подобно этому функция потерь (5.3.3) тоже является функцией параметра a. Поэтому, если для параметра a существует такая достаточная статистика z = z(x), что аналогично (5.2.2) (5.3.4) и для решения u(x) = f(z(x)) функция потерь (5.3.3) может быть представлена в виде (5.3.5) где g2(z - а) - симметричная функция разности z - а, то совершенно аналогично § 5.2 доказывается, что правило решения (5.3.6) является минимаксным правилом - минимаксной оценкой вектора l (соответственно достаточная статистика z(x) является минимаксной оценкой векторного параметра ). Наименее предпочтительное распределение l в данном случае - равномерное распределение на множестве L, заданном соотношением (5.3.1). Достаточная статистика z(x), как следует из (5.3.4), является также оценкой максимального правдоподобия и может быть найдена, из соотношения (5.3.7) в котором максимизация по производится для всех возможных значений , принадлежащих m-мерному евклидову пространству. Важным частным случаем рассматриваемой задачи является случай, когда множество L - совокупность некоторых гиперплоскостей n-мерного пространства l.. При этом функции f(a) линейные, то есть (5.3.8) где F = ||Fik|| - некоторая матрица порядка (n x m), а оптимальная минимаксная оценка l, имеет вид (5.3.9) где *(х) - оценка максимального правдоподобия параметра . Представление (5.3.5) .для функции потерь в этом случае автоматически имеет место, если g(u,l) - произвольная симметричная функция разности u - l. Ход рассуждений при получении решений (5.3.6), (5.3.9) совсем не требовал, чтобы пространство значений l было конечномерным. Очевидно, полученные результаты справедливы и тогда, когда это пространство имеет более сложную структуру. Например, пусть нас интересует задача оценки функции l(t) на интервале (t1, t2), причем этот интервал может быть и бесконечным. В этом случае множество значений l- функциональное пространство. В свою очередь, функция l (t) может быть векторной, то есть l(t) = {l(1)(t),…, l(l)(t)}, где l - число компонент этой векторной функции. Ограничения на множество возможных значений l, (5.3,1) при этом принимают вид (5.3.10) где f - скалярная либо векторная (f = {f(1),…, f (l))}, функция времени и параметра ={ 1, ... ... n}, а решение - оценка функции l(t): (5.3.11) где * = *(x) = z(x) - оценка максимального правдоподобия для параметра , получаемая из соотношения (5.3.12) Таким образом, решение (5.3.11) дает оптимальный минимаксный алгоритм фильтрации (построения оценки функций времени) для широкого класса задач, в которых искомые в процессе фильтрации функции могут быть описаны с помощью зависимости (5.3.10), содержащей произвольное число полностью неизвестных параметров { 1, ... ... m}. Примеры подобного описания на практике весьма многочисленны: траектория движения объекта, для которого дифференциальные уравнения движения известны, а начальные условия неизвестны; процессы, соответствующие уравнениям движения, которые содержат какие-либо неизвестные параметры или коэффициенты, и т. д. |
||
Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 359. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |