Оформлення бланка відповідей другої частини

14

Çðàçîê

Частина третя

Розв’язання завдань 3.1–3.3 повинні мати обґрунтування. У них по­ трібно записати послідовні логічні дії та пояснення, зробити посилання на математичні факти, з яких випливає те чи інше твердження. Якщо потрібно­, проілюструйте розв’язання схемами, графіками, таблицями.

3.1.Розв’яжіть рівняння3 · 4^2х– 2 · 4^2х–1+ 5 · 4^2х–2=45.

Розв’язання. Розв’яжемо рівняння методом рівно-сильних перетворень:

3 · 4^2х – 2 · 4^2х–1 + 5 · 4^2х–2 = 45; 3 · 4^2х – 2 · 4^2х · 4^–1 + 5 · 4^2х · 4^–2 = 45;

4^2х ·  = 45;

4^2х = 16;

4^2х = 4²;

2х = 2;

х =1.

Відповідь. х =1.

3.2.Спростіть вираз . Розв’язання.

.

Виконаємо скорочення дробу на sin²2a за умови, що sin2a ≠ 0, тобто що , де n ∈ Z. Маємо

Відповідь. sin2α.

3.3.Основою прямого паралелепіпеда є паралелограм з гост­ рим кутом 30° і площею 15 см². Площі бічних граней па-ралелепіпеда дорівнюють 20 см² і 24 см². Знайдіть­ висоту паралелепіпеда.

15

Розв’язання.

Нехай сторони основ паралелепіпеда дорівнюють a і b, а висота – h.

За умовою S_осн = absin30° = 15, тобто ab = 15; ab = 30.

Бічні грані паралелепіпеда – прямокутники із сторо-нами a та h і b та h. Тому за умовою ah = 20; bh = 24. Маємо систему рівнянь

Почленно перемножимо ліві та праві частини рівнянь си­

стеми:

a²b²h²=30∙20∙ 24=3 ∙ 10 · 2 · 10 · 2 ∙ 3 ∙ 4;(abh)²=(10 · 2 ∙ 3 ∙ 2)²;

abh =120 (враховуючи,що a > 0, b > 0, h > 0).

Оскільки ab = 30, маємо: 30h = 120, h = 4.

Відповідь. 4 см.

Частина четверта

Розв’язання завдань 4.1^м–4.4^м повинні мати обґрунтування. У них по­ трібно записати послідовні логічні дії та пояснення, зробити посилання на математичні факти, з яких випливає те чи інше твердження. Якщо потрібно­, проілюструйте розв’язання схемами, графіками, таблицями.

4.1^м.Для кожного значення параметраарозв’яжіть рівнян-

ня cosx + sinx = .

Розв’язання. ОДЗ: х ≠  + πk, k ∈ Z. На ОДЗ вихідне

рівняння рівносильне рівнянню: cos²x + sinxcosx = а;

cos²x + sinxcosx = а(sin²x + cos²x);

аsin²x – sinxcosx + (а – 1)cos²x =0.            (1)

1)Якщоа=0,то з вихідного рівняння маємо:cosx + sinx = 0; tgх = –1; х = –  + πn, n ∈ Z.

16

Çðàçîê

2)Якщоа≠0,то маємо однорідне тригонометричне рів-няння (1). Розділимо обидві частини цього рівняння на cos²x ≠ 0. Одержимо: аtg²х – tgх + (а – 1) = 0.

Заміна tgх = t приводить до рівняння аt² – t + (а – 1) = 0.

D =1 – 4а(а – 1)=1 + 4а – 4а².

D I0,коли .

У цьому випадку .

;

 + πm, m ∈ Z.

Якщо  або , то рівняння розв’язків не має.

Відповідь. Якщо а =0,то х =–  + πn, n ∈ Z;

якщо , то  +

може бути лише те значення х, для якого значення лі-вої та правої частин рівняння дорівнюють 2.

2^х+ 2^–х=2,тільки колих=0.Але прих=0маємо

 = 2.

Отже, х = 0 – єдиний корінь вихідного рівняння.

Відповідь. х =0.

17

4.3^м.Через деяку точку всередині трикутника паралельнойого сторонам проведено три прямі. Ці прямі ділять трикутник на шість частин, три з яких – трикутники. Площі цих трикутників дорівнюють S₁, S₂ i S₃. Знай­ діть площу даного трикутника.

Розв’язання. Позначимо довжини­ відрізків АF = x,

LC = y, FL = z.

З паралельності прямих MN, FP і KL відповідним сторонам

АВС випливає,що кожний зотриманих трикутників МKO, OРN, FOL подібний трикутни-

ку АВС (за двома кутами).  Якщо шукану площу три-

кутника АВС позначити через S, то за властивістю площ подібних трикутників можна записати такі три рівності:

Додавши почленно ці три рівності, отримаємо:

Звідси маємо , S = .

Відповідь. .

4.4^м.У циліндр вписано прямокут-ний паралелепіпед, діагональ якого утворює з прилеглими до неї сторонами основи кути α і β. Знайдіть­ відношення об’єму

паралелепіпеда до об’єму ци-ліндра.

Розв’язання. Оскільки ци - ліндр і паралелепіпед мають однакові висоти, то шукане від-ношення об’ємів дорівнює від-ношенню площ основ.

Позначимо радіус основи ци-ліндра R. Тоді:

18

Çðàçîê

Оскільки ВА ⊥ АD і ВА є проекцією B₁А на площину основи паралелепіпеда, то за теоремою про три перпен-дикуляри B₁А ⊥ АD.

Кут ∠АDB₁ – це кут, який утворює діагональ B₁D зі стороною основи паралелепіпеда AD і за умовою ∠АDB₁= α. Позначимо B₁D = d.

З {B₁АD (∠А = 90°, ∠АDB₁ = α, B₁D = d) знаходимо

АD = dcosα.

Аналогічно з {B₁DС знаходимо DС = dcosβ.

S_ABCD = AD · DC = d ²cosαcosβ.

З {АBD (∠А = 90°) за теоремою Піфагора знаходимо

BD =

Враховуючи, що BD = 2R, маємо  Таким чином, шукане відношення:

.

Відповідь. .

19

POÇÄlË I

РОЗДІЛ І

ВАРІАНТ 1

Частина перша

Завдання 1.1–1.12 мають по чотири варіанти відповіді, з яких тільки ОДНА відповідь ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку відповідей.

1.4.Знайдіть­ суму нескінченної геометричної прогресії 16; 8; 4; ...

А)32;      Б)24;         В)10 ;            Г)40.

1.5.Знайдіть­ градусну міру кута, радіанна міра якого дорів-нює .

1.8.Знайдіть­ площу фігури, обмежену лініями , , , .

А) ; Б) ; В) ; Г) .

20

Âàðiàíò 1

1.9.На якому з рисунків кутиAOBіMONє вертикальними?

А)       Б)  В)          Г)

1.10.Знайдіть­ градусну міру внутрішнього кута правильного восьмикутника.

1.11.Об’єм призми дорівнює 150 см³, а площа основи – 10 см². Знайдіть­ висоту призми.

А)5см; Б)10см;       В)12см;    Г)15см.

1.12.Усі вершини ромба ABCD належать площині a. Пряма m паралельна прямій AB.Як можуть бути розташованіпряма m і площина a? Виберіть правильне твердження.

А)прямаmможе належати площиніaабо перетинатиїї, пряма m не може бути паралельною площині a;

Б)прямаmможе належати площиніa,прямаmнеможе перетинати площину a або бути паралельною площині a;

В)прямаmможе належати площиніaабо бути пара-лельною площині a, пряма m не може перетинати площину a;

Г)прямаmможе належати,бути паралельною площи-ні a або перетинати площину a.

Частина друга

Розв’яжіть завдання 2.1–2.4. Запишіть відповідь у бланк відповідей.

2.1.Розв’яжіть рівняння .

2.2.У коробці знаходиться 30 карток, що пронумеровані на-туральними числами від 1 до 30. З коробки навмання взяли одну картку. Яка ймовірність того, що на ній за-писане число, яке не є дільником 30?

2.3.Розв’яжіть рівняння .

2.4.Висота конуса відноситься до його діаметра як 2 : 3, а твірна конуса дорівнює 10 см. Знайдіть­ площу повної по-верхні конуса.

21

POÇÄlË I

ВАРІАНТ 2

Частина перша

Завдання 1.1–1.12 мають по чотири варіанти відповіді, з яких тільки ОДНА відповідь ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку відповідей.

1.1.Обчисліть .

1.4.Ставка прибуткового податку в Україні дорівнює 15 %. Який прибутковий податок треба заплатити із зарплати

3000 грн.?

А)450грн.; Б)300грн.;В)45грн.; Г)150грн.

1.5.Подайте степінь з дробовим показником , де a > 0, у вигляді кореня.

А) ; Б) ; В) ; Г) .

1.6.Розв’яжіть рівняння .

1.7.Стрілець у п’яти серіях з 10 пострілів у кожній влучив у мішень таку кількість разів: 8; 7; 9; 6; 7. Знайдіть­ роз-мах цієї вибірки.

А)3;             Б)4;           В)7;           Г)9.

1.8.Знайдіть­ , якщо .

А) ; Б) ; В) 2; Г) .

22

Âàðiàíò 2

1.10.Діагональ паралелограма дорівнює 5 см і перпендику-лярна до сторони паралелограма, яка дорівнює 3 см. Знайдіть­ площу паралелограма.

А)7,5см²; Б)12см²; В)15см²; Г)20см².

1.11.Піраміда має рівно дев’ять граней. Скільки сторін має многокутник, який є основою піраміди?

А)7;          Б)8;           В)9;           Г)10.

1.12.Пряма AK перпендикулярна до площини квадрата ABCD, KC = 10см, AK = 8см.Знайдіть­ AB.

А)  см; Б) 6 см; В) 3 см; Г)  см.

Частина друга

Розв’яжіть завдання 2.1–2.4. Запишіть відповідь у бланк відповідей.

2.1.Знайдіть­ область значень функції .

2.2.Розв’яжіть рівняння .

2.3.Для функції  знайдіть­ загальний вигляд первісних.

2.4.Хорда основи циліндра дорівнює 8 см і віддалена від цен-тра цієї основи на 3 см. Відрізок, що сполучає центр ін-шої основи із серединою даної хорди, утворює з площи-ною основи кут 60°. Знайдіть­ об’єм циліндра.

23

POÇÄlË I

ВАРІАНТ 3

Частина перша

Завдання 1.1–1.12 мають по чотири варіанти відповіді, з яких тільки ОДНА відповідь ПРАВИЛЬНА. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку відповідей.

1.2.Зведіть одночлен  до стандартного вигляду.