Параллелепипед. Центральная симметрия параллелепипеда.

Аксиомы стереометрии и следствия из них.

1)L-плоскость, тогда в пространстве существуют точки, принадлежащие данной плоскости и не принадлежащие ей.

2)Если две плоскости имеют хотя бы одну общую точку, то они пересекаются по прямой.

3)Через 2 пересекающиеся прямые проходит плоскость и при том только одна.

4)Выполняются все аксиомы планиметрии.

Следствие1. Существует единственная плоскость L, проходящая через прямую и точку не лежащую на данной прямой.

Следствие2. Если 2 точки прямой принадлежат плоскости L, то вся данная прямая принадлежит данной плоскости.

Следствие3. Пусть дана прямая а, полностью не лежащая в плоскости L, возможно два случая

1)а и L не имеют ни одной общей точки

2)

Следствие4.Через 3 точки пространства проходит плоскость, при том только одна. А,В,С - не лежат на одной плоскости.

Взаимное расположение двух прямых.

1)m//l

Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

2)m и n пересекаются, если они имеют хотя бы одну общую точку.

3)Прямые m и n могут скрещиваться. Две прямые называются скрещивающимися,если они лежат в разных плоскостях и не пересекаются.

4)Прямые m и n совпадают

Теорема 1 .Через 2 параллельные прямые проходит плоскость при том только одна.

Теорема 2.Через две пересекающиеся прямые проходит одна плоскость.

Теорема 3. Если одна из прямых лежит в плоскости L, а другая пересекает данную плоскость в точке, не принадлежащей данной прямой, то такие прямые скрещиваются.

Теорема 4.Если две прямые m и n имеют хотя бы две общие точки, то они совпадают.

Теорема 5.Через 2 совпадающие прямые проходит бесконечное число плоскостей.

Теорема 6.Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость L, то и другая прямая пересечет данную плоскость.

 Если направляющий вектор одной прямой параллелен направляющему вектору другой,

то прямые параллельны.

Два вектора параллельны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны.

Параллельной прямой и плоскости.

Прямая l называется параллельной плоскости L, если она не имеет с данной плоскостью ни одной общей точки.

Теорема: прямая l будет параллельна плоскости L,тогда и только тогда, когда данная прямая будет параллельна какой либо прямой, лежащей в плоскости L.

Параллельность плоскостей.

Две плоскости L и B называются параллельными если они : совпадают, не пересекаются ни в одной точке.

Теорема: Плоскость гамма пересекающая одну из параллельных плоскостей пересекает и другую, причем линии по которым пересекаются плоскости, будут параллельны.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Прямая l будет перпендикулярна плоскости L , если она будет перпендикулярна любой прямой лежащей в плоскости L.

Теорема:Для того, чтобы прямая l была перпендикулярна плоскости L необходимо и достаточно, чтобы данная прямая была перпендикулярна хотя бы 2 пересекающимся прямым, лежащим в плоскости L.

Перпендикуляр и наклонная.

Прямая l называется наклоннойк плоскости L, если она не ледит в данной плоскости и неперпендикулярная ей.

Прямая m называется проекцией наклонной на плоскость L, если каждая ее точка является проекцией наклонной точки прямой l.

Теорема о трех перпендикулярах.

Прямая l, лежащая в плоскости L и проходящая через основание наклонной перпендикулярна проекции наклонной , если перпендикулярна самой наклонной и наоборот.

АВ - перпендикуляр, В - основание перпендикуляра, АС - наклонная, С - основание наклонной, ВС - проекция наклонной.

Признак перпендикулярности плоскостей.

Две плоскости называются перпендикулярными, если образованные ими смежные двугранные углы равны.

Ортогональное проектирование.

Ортогональной проекцией точки А на плоскость L называется основание перпендикуляра опущенного из точки А к плоскости L. Проекцией отрезка будет отрезок.

Если отрезок будет расположен перпендикулярно плоскости, то его проекцией будет одна точка.

Если в пространстве расположен луч, то его проекцией будет луч.

Векторы в пространстве. Действия над нами.

Вектор- правильный отрезок.

Векторы называются равными, если они сонаправлены и имеют одинаковые модули.

Любой вектор, полученный параллельным переносом вектора АВ, будет равен ему.

Векторы называются коллинеарными, если они лежат, а параллельных прямых.

Действия над векторами:

Умножение вектора на число:

Сложение векторов: чтобы сложить два вектора надо сложить их соответствующие координаты.

Разложение векторов в базисе (по направлению)

Базис- система векторов через которую можно выразить любо другой вектор.

Орт нормированный базис-базис, векторы которого попарно перпендикулярны и их длины =1.

Двугранный угол. Трехгранный и многогранный.

Двухгранным углом называется угол образованный двумя полуплоскостями, имеющими общую прямую. Один двухгранный угол больше другого, если при совмещении их ребер получим, что второй угол полностью лежит внутри первого.

Все линейные угла двухгранного угла равны.

Угол, образованный тремя лучами, исходящими из одной точки называется трехгранным углом. О- вершина.

Многогранник. Правильные многогранники.

Многогранник- совокупность многоугольников пересекающихся по своим сторонам. Все эти точки - вершины многогранника. Все многоугольники образующие данный многогранник будут называться гранями.

Отрезки, по которым пересекаются грани - ребра. Многогранник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой плоскости, проходящей через его грань.

Многогранник называется простым, если:

1) его ребра пересекаются только в вершинах, ноне во всех внутренних точках.

2)грани пересекаются только по ребрам, но не во внутренних точках.

3) любая вершина образует выпуклый многогранный угол.

Виды многогранников:

1) пирамиды

2)призмы

Призма называется наклонной, если ее боковые грани пол углом к основанию

3) параллелепипед - призма основаниями которой являются параллелограммы.

Если боковые ребра перпендикулярны основанию, то параллелепипед прямой.

Если в прямом параллелепипеде в основании лежат прямоугольники, то такой параллелепипед называется прямоугольным.

Характеристики многогранника:

1)Высота пирамиды - длина перпендикулярна, опущено на плоскость основания из вершины пирамиды.

2)Площадь боковой поверхности - площадь всех боковых граней.

3)Площадь основания.

4)Площадь полной поверхности

5)Объем

Правильные многогранники:

1)Правильный тетраэдр - все грани - правильные треугольники.

2)Куб - все грани квадраты.

3)Додекаэдр - 12 граней, в каждой правильный треугольник.

4)йкосайдер - 20 граней, в каждой правильный треугольник

Многогранник называется правильным, если в него можно вписать сферу и описать около него.

Теорема: существует только 5 правильных многогранников.

n - число вершин , k - число граней при одной вершине.

Призма.

Призма - многогранник, у которого 2 грани (основания) лежат в параллельных между собой плоскостях.

Высота призмы - расстояние между плоскостями оснований.

Все боковые грани - параллелограммы.

Pn - периметр, перпендикулярного ребрам сечения.

Прямая призма - призма, у которой боковые ребра перпендикулярны основанию.

Высота призмы = длине ребра. На боковых гранях прямоугольники.

Призма называется правильной, если в ее основаниях лежат правильные n угольники.

Параллелепипед. Центральная симметрия параллелепипеда.

Параллелепипед- четырехугольная призма, в основании которой лежат параллелограммы.

Все грани параллелепипеда - параллелограммы.

Параллелепипед называется прямым, если его боковые грани перпендикулярны основаниям.

Параллелепипед называется прямоугольным, если в его основаниях лежат прямоугольники.

Куб- прямоугольный параллелепипед, все ребра которого равны.