Определение и признак параллельности плоскостей.

ГЕОМЕТРИЯ

Аксиомы стереометрии и следствия из них.

А1

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

А2

Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.

А3

Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Следствия:

Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

Через две непересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Параллельные прямые в пространстве. Определение.

 Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Теоремы о параллельных прямых.

Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Лемма о параллельных прямых.(без доказательства)

Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Случаи взаимного расположения прямых в пространстве

Определение и признак параллельности прямой и плоскости.

Определение: прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Теорема: Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

Док-во: рассмотрим плоскость α и две параллельные прямые aи b, так что прямая b лежит в плоскости α, а прямая a не лежит в этой плоскости. Докажем что allα.

Допустим, что это не так. Тогда прямая a пересекает плоскость α, а значит, по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми прямая b также пересекает плоскость α. Но это невозможно, так как прямая b лежит в плоскости α. Итак, прямая a не пересекает плоскость α, поэтому она параллельна этой плоскости. ЧТД.

Свойства параллельности прямой и плоскости.

1⁰ Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

2⁰Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости

Определение и признак скрещивающихся прямых.

Определение: Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Признак:

Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещиваются.

Теорема о скрещивающихся прямых.

Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

Углы с сонаправленными сторонами. Определение и свойства.

Угол между прямыми.

Определение и признак параллельности плоскостей.

Опр. Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Признак. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.