Метод узловых и контурных уравнений

Метод узловых и контурных уравнений основан на составлении по известным данным (Е, R) уравнений, используя 1 и 2 законы Кирхгофа. Так как в каждой ветви схемы протекает свой ток, то число неизвестных токов, а следовательно и составляемых уравнений равняется числу ветвей схем.  

Данным методом можно рассчитать любую сложную цепь, недостатком метода является громоздкость вычислений.

Порядок расчета:

1. Определить количество уравнений, которые необходимо составить, оно равно числу неизвестных токов (ветвей) в схеме

2. Произвольно выбрать положительные направления токов в ветвях и обозначить их на схеме.

3. Выбрать направления обхода контуров для составления уравнений по второму закону Кирхгофа (удобнее одинаковыми для всех контуров, например, по часовой стрелке).

4. Составить уравнения по первому закона Кирхгофа. Число уравнений 1-го закона Кирхгофа на единицу меньше числа узловых точек в схеме.

5. Остальное число уравнений составить по второму закону Кирхгофа.

§ Если направление обхода контура  совпадает с направлениями ЭДС и токов на отдельных участках контура, то эти ЭДС и падения напряжения  входят в уравнения со знаком «+».

§ Если направление обхода контура  не совпадает с направлениями ЭДС и токов на отдельных участках контура, то эти ЭДС и падения напряжения  входят в уравнения со знаком « – ».

6. Решая систему уравнений, найти величину токов.

§ Если окажется, что в результате решения уравнений некоторые из токов получились отрицательными, то это значит, что направление этих токов было выбрано неправильно.

§ Необходимо изменить эти направления на схеме.

7. Проверку правильности решения можно провести путем подстановки значений токов в одно из составленных уравнений.

Пример №3

 На рисунке 3.1 приведена схема сложной цепи постоянного тока. По заданным значениям сопротивлений и ЭДС  определить ток в каждой ветви схемы методом узловых и контурных уравнений. Е₁= 225В, Е₂ = 160В, R₀₁ = 1Ом, R₀₂ = 1Ом, R₁ = 9Ом, R₂ = 9Ом, R₃ = 30Ом.

Решение:

1. Определение числа уравнений: в цепи 2 узла, 3 ветви, в которых протекает 3 разных тока, следовательно, для расчета цепи необходимо составить 3 уравнения. Одно по 1 закону Кирхгофа (узловое уравнение), два по 2 закону Кирхгофа (контурные уравнения)

                (рис 3.1)

2. Выбор направления тока в ветвях:  в 1-ой и 2-ой  ветви от узла В к узлу А, в 3-ей ветви от узла А к узлу В. Направление обхода контуров по часовой стрелке (рис 3.2)

3. Составляем 1 узловое уравнение:

и два контурных уравнения

      (рис 3.2)

4. Подставляем в уравнение заданные значения э.д.с. и сопротивлений, решаем систему уравнений и определяем токи в каждой ветви:           

Выражаем  токи I₁ и I₃ через I₂

Из уравнения [2] .

Из уравнения [3]

Полученные выражения подставим в уравнение [1]:

Значение тока I₂, со знаком « – », следовательно, его направление было выбрано неправильно, необходимо изменить это направления на схеме.

Токи I₁ и I₃, со знаком « + », следовательно, их направление в начале решения было выбрано правильно.

5. Проверку правильности решения проведем путем подстановки значений токов в уравнение .

- 0,5 + 6 – 5,5 = 0

Ответ:

Метод узлового напряжения

В практических задачах встречаются цепи, имеющие всего две узловые точки. Между узловыми точками может быть включено произвольное количество ветвей. Расчет таких цепей значительно упрощается, если пользоваться методом узлового напряжения.

В данном методе используется формула узлового напряжения (т.е. напряжение между узловыми точками):

, где Е – ЭДС источника энергии, В; g – приводимость ветви, См

Порядок расчета:

1. Условно обозначить направление токов в ветвях: от точки с меньшим потенциалом к точке с более высоким потенциалом.

2. Вычислить проводимость каждой ветви по формуле: , где R – сопротивления, входящие в данную ветвь

3. Вычислить узловое напряжение: ,

4. Вычислить токи в каждой ветви по формуле:

5. Расставить реальное направление токов в ветвях:

Ø если токи получились со знаком «+», значит было выбрано правильное направление тока;

Ø  если токи получились со знаком « – », значит направление тока необходимо изменить.

Пример № 4

На рисунке 4 приведена схема сложной цепи постоянного тока. По заданным значениям сопротивлений и э.д.с. определить ток в каждой ветви схемы. Е₁= 225В, Е₂ = 160В, R₀₁ = 1Ом, R₀₂ = 1Ом, R₁ = 9Ом, R₂ = 9Ом, R₃ = 30Ом.

Решение:

1. Выбор направления тока в ветвях: от узла В к узлу А.

2. Определяем проводимость каждой ветви по формуле

     (рис 4.)

3. Вычисляем узловое напряжение

4. Вычисляем токи в каждой ветви:

5. Значение токов I₂, I₃ со знаком « – », следовательно,  направление было выбрано неправильно, необходимо изменить направления токов I₂, I₃  на схеме.  Значение тока I₁ со знаком « + », следовательно, его направление в начале решения было выбрано правильно.

Ответ:

Задание 41 – 50Ответы на вопросы  изложены в учебниках [1], [2], [7], [8],