Способы изображения синусоидальных функций времени

,                   (1.16)

где  - комплекс действующего значения силы тока (комплекс тока);  - комплекс действующего значения напряжения, приложенного к цепи (комплекс напряжения);  - полное комплексное сопротивление.

Отличие обозначения комплексного сопротивления  от обозначения комплексных напряжения  и тока  связано с тем, что комплексное сопротивление не является синусоидальной функцией времени.

Математическое выражение первого закона Кирхгофа в комплексной форме имеет вид

,               (1.17)

где k – число комплексных токов, сходящихся в узле электрической цепи.

В соответствии с (1.17) сумма комплексных токов, сходящихся в узле электрической цепи, равна нулю.

Математическое выражение второго закона Кирхгофа в комплексной форме имеет вид:

,              (1.18)

где k – число комплексных напряжений вдоль замкнутого контура.

В соответствии с (1.18) сумма комплексных напряжений вдоль любого замкнутого контура равна нулю.

1.6. Понятие о полном комплексном сопротивлении

Составными элементами цепей синусоидального тока являются активное сопротивление R, индуктивность L и емкость C. Каждый из этих элементов оказывает сопротивление переменному току.

На активном сопротивлении R энергия электрического тока преобразуется в тепловую энергию. Такое преобразование является необратимым.

На индуктивности L происходит периодическое преобразование энергии электрического тока в энергию магнитного поля, накопление и обратное преобразование.

На емкости С происходит периодическое преобразование энергии электрического тока в энергию электрического заряда, накопление и обратное преобразование.

Поскольку процессы в индуктивности и емкости являются обратимыми, то эти элементы называют реактивными.

Индуктивность обладает реактивным сопротивлением, которое называют индуктивным сопротивлением

        (1.19)

где f – частота переменного синусоидального напряжения, Гц; L – индуктивность, Гн.

Конденсатор обладает реактивным сопротивлением, которое называют емкостным сопротивлением

     (1.20)

где С – емкость, Ф.

Если элементы R, L, C соединены последовательно, то полное комплексное сопротивление можем записать в виде

. (1.21)

В соответствии с (1.21) очевидно, что полное комплексное сопротивление имеет действительную и мнимую части:

   (1.22)

где R – активное сопротивление; X – реактивное сопротивление.

В (1.22) знак «плюс» перед  ставится, если , в противном случае ставится знак «минус».

1.7. Угол сдвига фаз. Векторная диаграмма

Токи и напряжения на различных участках электрической цепи синусоидального тока могут не совпадать по фазе, например:

;           (1.23)

,         (1.24)

где - начальная фаза тока; - начальная фаза напряжения.

Тогда угол сдвига фаз между током и напряжением определяют как разность их начальных фаз

.                        (1.25)

Угол сдвига фаз между током и напряжением на некотором участке электрической цепи зависит от характера сопротивления данного участка и определяется по формуле:

.            (1.26)

Наглядное представление о фазовом расположении различных векторов дает векторная диаграмма токов и напряжений.

Векторная диаграмма – это совокупность векторов на комплексной плоскости, изображающих синусоидальные функции времени одной и той же частоты и построенных с соблюдением их начальных фаз.

Поскольку расчет электрических цепей синусоидального переменного тока ведется, как правило, с использованием метода комплексных чисел, то и векторные диаграммы также строятся на комплексной плоскости.

Векторные диаграммы чаще всего выполняют совмещенными, то есть на одной комплексной плоскости откладывают векторы токов и напряжений для отдельных участков цепи. При этом необходимо выбрать масштабы для токов и напряжений. Следует отметить, что для токов может быть выбран один масштаб, а для напряжений – другой. Это никоим образом не искажает общей картины, поскольку векторная диаграмма дает представление о взаимном расположении векторов и позволяет судить о наличии сдвига фаз между током и напряжением на отдельных участках электрической цепи.

Из курса высшей математики известно, что над векторами можно производить следующие действия: сложение, вычитание, умножение на число и деление на число.

В электротехнике принято с помощью векторной диаграммы складывать или вычитать векторы. Очевидно, что эти действия можно производить над векторами, имеющими одинаковую размерность.

На рис. 1.3 а показано сложение двух комплексных токов ,  по правилу параллелограмма. Результатом сложения является комплексный ток . На рис. 1.3 б показано вычитание комплексного напряжения  из комплексного напряжения , в результате чего получаем комплексное напряжение .

а                                                     б

Рис. 1.3