АВТОКОРРЕЛЯЦИЯ ДАННЫХ И ОСТАТКОВ

ДОНЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ 

ЭКОНОМИКИ И ТОРГОВЛИ

им. М. ТУГАН-БАРАНОВСКОГО

КАФЕДРА ВЫСШЕЙ И ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

Э К О Н О М Е Т Р И Я

Учебное пособие

Утверждено на заседании кафедры высшей и прикладной математики.

Протокол № от         2002 г. 

Одобрено учебно-методическим советом университета.

протокол № от      2002 г.

ДОНЕЦК 2002

УДК 330. 115

Эконометрия. Учебное пособие. /Cост. Пенина Г.Г., Шепеленко О.В., Узбек Е.К., Орлова Л.М. - Донецк: ДонГУЭТ, 2002. - 79 с. 

Учебное пособие предназначено для студентов дневного и заочного отделений экономических специальностей. Его цель – помочь студентам усвоить темы курса эконометрии. Учебное пособие содержит теоретические вопросы, а также решения типовых задач. Даны рекомендации к решению задач, которые предназначены в помощь студентам при выполнении контрольной работы.

Рецензент: Винда Е.В., канд. техн. наук, доцент

© Донецкий государственный университет

экономики и торговли

им. М.Туган-Барановского, 2002

ВСТУПЛЕНИЕ

Эконометрия – это наука, изучающая количественные закономерности и взаимозависимости экономических процессов и объектов с помощью математико-статистических методов и моделей.

Возрастающей интерес к эконометрии вызван современным этапом развития экономики в государстве, формированием рыночных отношений. Эконометрия имеет инструментарий, который позволяет перейти от качественного уровня анализа к уровню, который использует количественные статистические значения исследуемых величин. Она рассматривает не отдельные частичные характеристики, а строится на комплексном исследовании всего экономического процесса. 

Эконометрия является синтезной дисциплиной; она объединяет в себе экономическую теорию, математическую экономику, экономическую и математическую статистику. Курс эконометрии тесно связан с микроэкономикой, макроэкономикой, финансовым анализом, обеспечивая прикладные знания специалистов. В нем содержатся исследовательские приемы изучения взаимосвязи экономических явлений, выдвигаются и проверяются гипотезы о наличии корреляционных связей между признаками, количественно оценивается существенность взаимосвязей, определяются формы связи и проводится выбор уравнений, оценивается достоверность параметров, строятся однофакторные и многофакторные регрессионные модели, дается оценка их адекватности и надежности. 

Особое место занимает исследование связи в динамических процессах путем построения авторегрессионных моделей и оценки возможности использования их в прогнозировании. Без эконометрических методов нельзя построить надежного прогноза, а значит – под вопросом и успех в управлении экономическими процессами в бизнесе, банковском деле, финансах. 

МОДЕЛИ РЯДОВ ДИНАМИКИ

Одной из важнейших задач исследования экономических процессов является изучение изменения экономических показателей с течением времени (товарооборота, объема выпуска продукции, производительности труда и т.д.). Эта задача решается с помощью упорядочения и анализа рядов динамики.

Динамическим рядом называется последовательность результатов наблюдений за явлением через равные промежутки времени.

Изучая ряды динамики, стремятся обнаружить основную, главную тенденцию в изменении показателей ряда. Аналитическое моделирование рядов динамики проводится с помощью простейших экономико-математических моделей: линейной, параболической, гиперболической, логарифмической, показательной, степенной и других.

Пример 1.

Проанализировать показатели реализации мучных изделий в государственной торговле Донецкой области за ряд лет. Найти уравнения линейной, параболической и гиперболической зависимостей. Проверить адекватность полученных экономико-математических моделей, определить наилучшую модель.

Решение.Данные таблицы показывают, что реализация продукции неуклонно возрастала, хотя происходило это неравномерно. Очевидно, существует ряд факторов, под влиянием которых изменяется величина объема реализации. Некоторые из факторов могут действовать долгосрочно, а другие – кратковременно; некоторые могут быть важными, другие – случайными.

Для выравнивания показателя реализации мучных изделий в государственной торговле будем использовать такие функции: линейную, параболическую и гиперболическую. Параметры избранных для моделирования функций можно найти с помощью метода наименьших квадратов. На его основе для каждой из функций формируют специальную систему уравнений Гаусса. Для указанных функций приведем соответствующие системы:

Линейная -	(1)
Параболическая -	(2)
Гиперболическая -	(3)

В любой из систем (1)-(3)  – результативный показатель;  – фактор времени;  – количество наблюдений;  – параметры моделей.

Отсчет временного показателя  начинают от 1. Составим вспомогательную расчетную таблицу 1 и на ее основе сформируем системы Гаусса.

Таблица 1 - Вспомогательные расчеты для формирования систем Гаусса

В последней строке таблицы 1 указаны суммы всех значений для каждого столбца.

Составим системы для трех функций и найдем соответствующие уравнения.

Для определения параметров уравнения линейной функции запишем систему уравнений (1) и найдем ее решение:

Таким образом,  – линейная модель.

Для определения параметров уравнения параболической функции  запишем систему уравнений (2) и найдем ее решение с помощью метода Гаусса:

 Таким образом,  – параболическая модель.

Для определения параметров уравнения гиперболической функции запишем систему уравнений (3) и найдем ее решение

Таким образом,  – гиперболическая модель.

Адекватность экономико-математической модели может быть установлена с помощью средней ошибки аппроксимации (среднего процента расхождения теоретических и фактических значений):

 ,                                       (4)

где – фактические значения показателя,  – теоретические значения, найденные по уравнению.

Для этого по каждому уравнению находят теоретические значения , подставляя в него соответствующие значения , и для каждого значения  рассчитывают , потом находят среднее значение .

При моделировании экономических показателей чаще всего допускается 5% погрешность (иногда 7%, редко 10%). Модель считается адекватной (то есть пригодной), если .

Выбор наилучшей модели можно проводить на основе остаточного среднеквадратичного отклонения (остаточной дисперсии):

 ,                                              (5)

где – количество параметров в уравнении.

Лучшей будет та функция, для которой значение   меньше.

Таблица 2 - Расчеты для линейной функции

1	12,1	12,3458	0,2458	1,991	0,060418
2	12,9	12,8846	0,0154	0,1195	0,000237
3	13,7	13,4234	0,2766	2,0606	0,076508
4	13,9	13,9622	0,0622	0,4455	0,003869
5	14,5	14,501	0,001	0,0069	0,000006
6	15,1	15,0398	0,0602	0,4003	0,003624
7	15,7	15,5786	0,1214	0,7793	0,014738
8	16,1	16,1174	0,0174	0,1079	0,000303
9	16,6	16,6562	0,0562	0,3374	0,003158
10	17,1	17,195	0,095	0,5525	0,009025
				6,8008	0,17188

Из формул (4), (5) имеем: ; .

Таблица 3 - Расчеты для параболической функции

1	12,1	12,2251	0,1251	1,023305	0,01565
2	12,9	12,8445	0,0555	0,432092	0,00308
3	13,7	13,4437	0,2563	1,906469	0,06569
4	13,9	14,0227	0,1227	0,87501	0,015055
5	14,5	14,5815	0,0815	0,558927	0,006642
6	15,1	15,1201	0,0201	0,132936	0,000404
7	15,7	15,6385	0,0615	0,39326	0,003782
8	16,1	16,1367	0,0367	0,227432	0,001347
9	16,6	16,6147	0,0147	0,088476	0,000216
10	17,1	17,0725	0,0275	0,161078	0,000756
				5,798984	0,112623

Из формул (4), (5) имеем: ; .

Таблица 4 - Расчеты для гиперболической функции

1	12,1	11,251	0,8489	7,5450	0,7206
2	12,9	13,739	0,83905	6,1070	0,7040
3	13,7	14,568	0,868367	5,9606	0,7541
4	13,9	14,983	1,083025	7,2283	1,1729
5	14,5	15,232	0,73182	4,8045	0,5356
6	15,1	15,398	0,297683	1,9333	0,0886
7	15,7	15,517	0,183843	1,1848	0,0338
8	16,1	15,605	0,4945	3,1720	0,2450
9	16,6	15,674	0,9259	5,9070	0,8573
10	17,1	15,729	1,3706	8,71355	1,8785
				52,556	6,9904

Из формул (4), (5) имеем: . Поскольку ,

то эта модель адекватной не является и считать для нее   не надо.

Составим сводную таблицу для статистических оцениваемых характеристик:

Таблица 5 - Статистические оценки для исследуемых моделей

Вид функции
Линейная	0,68	0,147
Парабола	0,579	0,127
Гипербола	5,25	–

     Из сравнения средних ошибок аппроксимации видно, что для гиперболической функции она выходит за 5% уровень, у линейной модели и параболической эта характеристика не выходит за 5% уровень и приблизительно одинаковая. Если оценивать преимущество, то очевидно, что лучшей есть параболическая функция, поскольку у нее остаточное среднеквадратичное отклонение  меньше всего.

АВТОКОРРЕЛЯЦИЯ ДАННЫХ И ОСТАТКОВ

В процессе исследования экономических явлений в качестве исходных статистических значений используют экономические величины, характеризующие размер исследуемых показателей и требующие эконометрического анализа и оценки. При этом следует иметь в виду, что показатели временных рядов часто имеют нежелательные особенности: следующее значение в определенной мере зависит от предшествующих значений. Такое явление получило название автокорреляции.

Автокорреляция данных

Автокорреляцией данныхназывается явление взаимосвязи следующих значений показателя от его предшествующих значений.

Наличие автокорреляции данных ведет к ухудшению уравнения регрессии, увеличению величины ошибок оценок параметров, расширению доверительных интервалов, снижению показателей значимости.

Выявление автокорреляции, возможное ее исключение или уменьшение до допустимого уровня делает дальнейшее моделирование зависимости экономических признаков и прогнозирование более надежным и достоверным.

Для уменьшения автокорреляции абсолютных значений показателей существуют разные способы. Почти все они основаны на исключении главной временной тенденции (тренда) из начальных данных.

Пример 2.

Провести проверку на автокорреляцию данных динамического ряда, который исследуется в примере 1.

Решение.

Уровень автокорреляции измеряют с помощью нециклического коэффициента автокорреляции первого порядка, который равняется парному коэффициенту корреляции между исходным временным рядом и рядом, смещенным на один период:

            (6)

Построим вспомогательную таблицу для расчета нециклического коэффициента автокорреляции первого порядка:

Таблица 6 – Расчет коэффициента автокорреляции

12,1	12,9	146,41	166,41	156,09
12,9	13,7	166,41	187,69	176,73
13,7	13,9	187,69	193,21	190,43
13,9	14,5	193,21	210,25	201,55
14,5	15,1	210,25	228,01	218,95
15,1	15,7	228,01	246,49	237,07
15,7	16,1	246,49	259,21	252,77
16,1	16,6	259,21	275,56	267,26
16,6	17,1	275,56	292,41	283,86
130,6	135,6	1913,24	2059,24	1984,71

По формуле (6) имеем: .

Для того, чтобы сделать вывод о наличии автокорреляции в исследуемом динамическом ряду фактическое значение коэффициента сравнивают с критическим  (приложение 1). Если , то можно утверждать, что автокорреляция данных присутствует. В противоположном случае, то есть если , то можно говорить об ее отсутствии.

В нашем случае критическое значение коэффициента равняется . Поскольку , то между уровнями показателя  автокорреляция присутствует.

Автокорреляция остатков

Методика применения метода наименьших квадратов предполагает, что значения случайной переменной попарно не коррелированы, или они попарно независимы в вероятностном смысле. Если же переменные содержат тренд или циклические колебания, то последовательные остатки могут быть коррелированы. Такой вид корреляции называется автокорреляцией остатковиливозмущений.

Автокорреляция остатков затрудняет применение классических методов анализа временных рядов. В моделях регрессии, которые описывают зависимости между случайными значениями взаимозависимых величин, она снижает эффективность применения МНК.

Для определения автокорреляции остатков используют критерий Дарбина-Уотсона.

Пример 3.

Провести проверку параболической функции, построенной в примере 1, на наличие автокорреляции остатков.

Решение.

Параболическая функция, которая построена в примере 1,  имеет вид: .

Для проверки ее на наличие автокорреляции с помощью критерия Дарбина-Уотсона рассчитывается d-статистикапо формуле (7):

 ,                                        (7)

где ,  – фактические значения показателя,  – соответствующие теоретические значения показателя.                      

Для того, чтобы рассчитать d-статистику построим вспомогательную таблицу:

Таблица 6 - Расчет d-статистики

и
1	12,1	12,2251	-0,1251				0,01565
2	12,9	12,8445	0,0555	-0,1251	0,1806	0,032616	0,00308
3	13,7	13,4437	0,2563	0,0555	0,2008	0,040321	0,06569
4	13,9	14,0227	-0,1227	0,2563	-0,379	0,143641	0,015055
5	14,5	14,5815	-0,0815	-0,1227	0,0412	0,001697	0,006642
6	15,1	15,1201	-0,0201	-0,0815	0,0614	0,00377	0,000404
7	15,7	15,6385	0,0615	-0,0201	0,0816	0,006659	0,003782
8	16,1	16,1367	-0,0367	0,0615	-0,0982	0,009643	0,001347
9	16,6	16,6147	-0,0147	-0,0367	0,022	0,000484	0,000216
10	17,1	17,0725	0,0275	-0,0147	0,0422	0,001781	0,000756
						0,240612	0,112623

С помощью формулы (7) рассчитываем d – статистику:

 

Вычисленное значение d сравнивается с интервалами, найденными в соответствии со значениями  и  (приложение 2). Здесь п – количество наблюдений, т – число факторов,  – уровень значимости. В нашем случае критические значения статистики Дарбина-Уотсона при 5%-ном уровне значимости, то есть при =0,05, равняются:  и .

Таблица 7 – Расчет интервалов

Принимаем гипотезу о существовании положительной автокорреляции	Зона неопре-делен-ности	Принимаем гипотезу об отсутствии автокорреляции	Зона неопре-делен-ности	Принимаем гипотезу о существовании отрицательной автокорреляции
0		2		4
0                  0,88		1,32  2      2,68		3,12                  4

Из таблицы 7 видим, что d - статистика удовлетворяет неравенству:

1,32 < 2,136 < 2,68,

значит принимаем гипотезу об отсутствии автокорреляции остатков.

Замечание.Если значение d-статистики удовлетворяет неравенствам   или , то при выбранном уровне значимости не возможно сделать вывод о наличии или об отсутствии автокорреляции остатков, необходимо дальнейшее исследование.

МУЛЬТИКОЛЛИНЕАРНОСТЬ

 

На практике при количественной оценке параметров эконометрической модели довольно часто сталкиваются с проблемой взаимосвязи между объясняющими переменными. Если взаимосвязь довольно тесная, то оценка параметров модели может иметь большую погрешность. Такая взаимосвязь между объясняющими переменными называется мультиколлинеарностью. Мультиколлинеарность переменных приводит к смещению оценок параметров модели. Поэтому необходима проверка факторов на мультиколлинеарность.

     Наиболее простой формой проверки мультиколлинеарности является анализ корреляционной матрицы. Значение парных коэффициентов корреляции свидетельствует о том, связаны между собою переменные или нет. Но если в модели большее двух факторов, вопрос о мультиколлинеарности не может ограничиваться информацией, которая дает эта матрица. Более общая проверка предусматривает вычисление определителя матрицы R, (  ).

     Наиболее полное исследование мультиколлинеарности можно осуществить на основе алгоритма Феррара-Глаубера. Этот алгоритм включает три вида статистических критериев, на основе которых проверяется мультиколлинеарность всего массива переменных (  , хи-квадрат); каждой факторной переменной со всеми другими (F-статистика) и мультиколлинеарность каждой пары факторов (t-статистика). Все эти критерии при сравнении с их критическими значениями дают возможность сделать конкретные выводы относительно наличия или отсутствия мультиколлинеарности независимых переменных.

Пример 4.

Затратына питание зависят от факторов:общие затраты, состав семьи и заработок. Надо исследовать наличие мультиколлинеарностипо алгоритму Феррара-Глаубера.

Затраты на питание,	Общие затраты,	Состав семьи,	Заработок,
22	45	1,7	70
30	72	1,9	105
45	131	2	172
62	228	3,4	302
48	90	3	150
64	145	3,6	205
76	225	4,7	303
108	357	5,2	480
65	136	4,9	195
90	218	5	315

Решение.

1. Найдем корреляционную матрицу. Эта матрица симметричная. В нашем случае размера 3х3. Она имеет вид:

 ,                                         (8)

где  исчисляется по формуле

 ,                                         (9)

где , , .

Вычислим вспомогательную таблицу:

Таблица 8 - Расчет элементов корреляционной матрицы

45	1,7	70	2025	2,89	4900	76,5	3150	119
72	1,9	105	5184	3,61	11025	136,8	7560	199,5
131	2	172	17161	4	29584	262	22532	344
228	3,4	302	51984	11,56	91204	775,2	68856	1026,8
90	3	150	8100	9	22500	270	13500	450
145	3,6	205	21025	12,96	42025	522	29725	738
225	4,7	303	50625	22,09	91809	1057,5	68175	1424,1
357	5,2	480	127449	27,04	230400	1856,4	171360	2496
136	4,9	195	18496	24,01	38025	666,4	26520	955,5
218	5	315	47524	25	99225	1090	68670	1575
1647	35,4	2297	349573	142,16	660697	6712,8	480048	9327,9

 В нашем случае число испытаний  равняется 10. Из таблицы 8 имеем:

Рассчитаем средние квадратичные отклонения:

Рассчитанные значения подставим в формулу (9):

Для данной задачи корреляционная матрица (8) имеет вид:

Элементы этой матрицы характеризуют тесноту связи между факторами.

В нашем случае  Между каждой парой факторов существует определенная связь.

2. Найдем определитель  корреляционной матрицы  по формуле (10):

(10)

В нашем случае получим такие результаты:

       Найдем - статистику по формуле (11):

                              (11)

В нашем случае число испытаний  число факторов , поэтому формула (11), имеет вид:

При степени свободы  и уровне значимости  находим по таблице (приложение 3) критическое значение .

Если , то мультиколлинеарность существует, в противном случае, то есть при  мультиколлинеарность отсутствует. 

В нашем случае поскольку  (  ), то можем считать что мультиколлинеарность присутствует.

3. Найдем обратную матрицу  к матрице  с помощью формулы (12)

 ,                                       (12)

где – алгебраическое дополнение к элементу . 

Найденные алгебраические дополнения подставим в формулу (12):

4. Рассчитаем - статистику по формуле (13):

                                        (13)

где – диагональные элементы матрицы  

В нашем случае  Эти значения подставим в формулу (13). Получим

 ;  ;

Фактические значения статистики  сравниваются с табличными  (приложение 4) при  и  степенях свободы и уровне значимости . Если , то переменная  с другими не коррелирует. В противоположном случае, то есть если , то переменная  коррелирует с другими переменными.

В нашем случае при уровне значимости  и степенях свободы  табличное значение критерия равняется   Поскольку все   то можно сделать вывод, что переменные коррелируют между собой.

5. Найдем частные коэффициенты корреляции.

Частные коэффициенты корреляции характеризуют тесноту связи между двумя переменными при условии, что третья не влияет на эту связь.

Частный коэффициент  приблизительно равен парному. Это свидетельствует о наличии мультиколлинеарности между переменными  и .

 6. Рассчитаем значения статистик:

Табличное значение статистики при 7 степенях свободы и уровне значимости 0,05 (приложение 5) равняется . Если , то между соответствующими переменными нет мультиколлинеарности. В противоположном случае, то есть если , между соответствующими переменными имеется существенная мультиколлинеарность.

Найденное фактическое значение  критерия больше табличного значения. Можно сделать вывод, что между переменными  и  также возможна коллинеарность. Сравнивая эти результаты, можем заключить, что из рассмотрения следует исключить фактор .

 4 МНОЖЕСТВЕННАЯ РЕГРЕССИЯ

Каждое явление в природе, экономике, общественной жизни, технике определяется комплексом причин. На уровень развития одного показателя могут влиять много факторов. Уровень влияния факторов на показатель может существенно различаться. Все эти закономерности следует учитывать во время проведения эконометрического анализа, прогнозирования и планирования.

При существовании линейной зависимости объясняемой переменной (показателя)  от нескольких объясняющих переменных (факторов)  общее выражение уравнения множественной регрессии имеет вид (14):

                       (14)

Модель описывает совместное одновременное влияние факторов на показатель. Задача исследования состоит в оценке параметров регрессии  по результатам выборочных наблюдений над переменными, которые включены в модель. Построение модели проводят методом наименьших квадратов.

Пример 5.

Построить эконометрическую модель, которая характеризует зависимость между затратами на питание  (условные денежные единицы), общими затратами  (условные денежные единицы) и составом семьи  (количество членов семьи) на основе данных, которые приведенные в таблицы.

	22	30	45	62	48	64	76	108	65	90
	45	72	131	228	90	145	225	357	136	218
	1,7	1,9	2	3,4	3	3,6	4,7	5,2	4,9	5

Решение. Для построения линейной многофакторной модели (15)

 ,                                      (15)

где  – теоретические значения показателя.

В соответствии с методом наименьших квадратов параметры  ищут как решение системы линейных уравнений (16)

                   (16)

Вспомогательные вычисления удобно проводить в таблице:

Таблица 9 - Расчет элементов системы (16)

45	1,7	22	2025	2,89	76,5	990	37,4
72	1,9	30	5184	3,61	136,8	2160	57
131	2	45	17161	4	262	5895	90
228	3,4	62	51984	11,56	775,2	14136	210,8
90	3	48	8100	9	270	4320	144
145	3,6	64	21025	12,96	522	9280	230,4
225	4,7	76	50625	22,09	1057,5	17100	357,2
357	5,2	108	127449	27,04	1856,4	38556	561,6
136	4,9	65	18496	24,01	666,4	8840	318,5
218	5	90	47524	25	1090	19620	450
1647	35,4	610	349573	142,16	6712,8	120897	2456,9

В последней строке записывают суммы чисел в столбце. Можно найти средние для каждого показателя по формулам (17)-(19)

;                                             (17)

;                                 (18)

.                                    (19)

Система (16) для определения параметров регрессии имеет вид:

Из первого уравнения можно выразить  и подставить во второе и третье уравнения:

    

   

Тогда уравнение регрессии (15) имеет вид

 .                                (20)

Важным этапом регрессионного анализа является оценка практической значимости синтезированной модели. Проверку значимости модели проводят на основании показателей тесноты связи между признаками  и .

Множественный коэффициент корреляции  равен коэффициенту корреляции между фактическими и теоретическими значениями объясняемой переменной. Его вычисляют по формуле (21)

                    (21)

Для вычисления множественного коэффициента корреляции целесообразно рассчитать вспомогательную таблицу:

Таблица 10 - Расчет элементов коэффициента

45	1,7	22	23,83	484	568,01	524,33
72	1,9	30	30,39	900	923,61	911,73
131	2	45	41,86	2025	1752,26	1883,70
228	3,4	62	71,21	3844	5070,29	4414,77
90	3	48	42,97	2304	1846,42	2062,56
145	3,6	64	57,96	4096	3359,83	3709,70
225	4,7	76	81,70	5776	6675,38	6209,43
357	5,2	108	109,71	11664	12035,85	11848,46
136	4,9	65	67,38	4225	4540,20	4379,77
218	5	90	82,99	8100	6887,34	7469,10
		610	610,01	43418	43659,19	43413,54

В соответствии с формулой (21) множественный коэффициент корреляции равняется

 .

Чем более близок  к единице, тем лучше данная модель описывает фактические данные. Рассчитанный коэффициент указывает на очень точное соответствие математической модели фактическим данным.

Коэффициент детерминации  равен квадрату множественного коэффициента корреляции. Он измеряет долю общей дисперсии относительно среднего , которую можно объяснить регрессией.

12Следующая ⇒