ЗАДАЧИ  И УПРАЖНЕНИЯ ПО АЛГЕБРЕ И ГЕОМЕТРИИ

(Контрольная работа № 1 «Элементы алгебры и геометрии»)

В задачах 1-20 решить систему трех уравнений с тремя неизвестными при помощи определителей.

1.                          2.

3.                            4.

5.                           6.

7.                         8.

9.                          10.

11.                          12.

13.                          14.

15.                          16.

17.                          18.

19.                         20.

В задачах 21-25 дана невырожденная (неособая) матрица А. Требуется: 1) найти обратную матрицу А^-1; 2) пользуясь правилом умножения матриц, показать, что А^.А^-1=Е, где Е – единичная матрица.

21.                  22.

23.                   24.

25.                      

В задачах 26-35 данную систему уравнений записать в матричной форме и затем решить с помощью обратной матрицы.

26.                  27.

28.                29.

30.                  31.

32.                 33.

34.                  35.

В задачах 36-40 исследовать данную систему уравнений на совместимость и решать ее, если она совместна.

36.                        37.

38.                            39.

40.                                

В задачах 41-45 составить уравнение геометрического места точек, равноудаленных от данной точки А (х₁,у₁) и данной прямой у=b. Полученное уравнение привести к простейшему виду и затем построить кривую.

41.  А (2,5),  у=1.                          42. А (3,-4), у=2.

43.  А (-4,3), у=-1.                         44. А (-2,-3), у=-1.

45.  А (1,-1), у=3.

В задачах 46-50 составить уравнение геометрического места точек, отношение расстояний которых до данной точки А (х₁,у₁) и данной прямой у=а. Полученное уравнение привести к простейшему виду и затем построить кривую.

46.  А (6,0),  х=1,5,             e=2.

47. А (3,0),  х= ,      e=1,5.

48. А (10,0), х=2,5,             e=2.

49. А (2,0),  х=4,5,             e=2/3.

50. А (3,0),  х=12,     e=0,5.

В задачах 51-55 даны координаты точек А (х₁;у₁) и В (х₂;у₂) и радиус окружности R, центр которой находится в начале координат. Требуется: 1) составить каноническое уравнение эллипса, проходящего через данные точки А и В; 2) найти полуоси, фокусы и эксцентриситет этого эллипса; 3) найти все точки пересечения эллипса с данной окружностью; 4) построить эллипс и окружность.

51.  А (4;-1), В (2; ), R= .

52. А (-8;4), В ( ;-2), R= .

53. А ( ;-2), В (-3; ), R=3.

54. А (-6; ), В ( ;6), R=8.

55. А ( ;-4), В (6; ), R= .

В задачах 56-60 даны координаты точек А (х₁;у₁) и В (х₂;у₂). Требуется: 1) составить каноническое уравнение гиперболы, проходящей через данные точки А и В, если фокусы гиперболы расположены на оси абсцисс; 2) найти полуоси, фокусы, эксцентриситет и уравнения асимптот этой гиперболы; 3) найти все точки пересечения гиперболы с окружностью с центром в начале координат, если эта окружность проходит через фокусы гиперболы; 4) построить гиперболу, ее асимптоты и окружность.

56.      А (-3;4), В (-5; ).

57.      А (4;-6), В (6; ).

58.      А (-4;-3), В (8;9).

59.      А (8;12), В (-6; ).

60.      А (8;6),  В (10; ).

В задачах 61-80 даны координаты вершин пирамиды АВСD. Требуется: 1) записать векторы  в системе орт и найти модули этих векторов; 2) найти угол между векторами ; 3) найти проекцию вектора  на вектор ; 4) найти площадь грани АВС; 5) найти объем пирамиды АВСD.

61.  А (2;-3;1),       В (6;1;-1),       С (4;8;-9),       D (2;-1;2).

62.  А (5;-1;-4),      В (9;3;-6),       С (7;10;-14),   D (5;1;-3).

63.  А (1;-4;0),       В (5;0;-2),       С (3;7;-10),     D (1;-2;1).

64.  А (-3;-6;2),      В (1;-2;0),       С (-1;5;-8),      D (-3;-4;3).

65.  А (-1;1;-5),      В (3;5;-7),       С (1;12;-15),   D (-1;3;-4).

66.  А (-4;2;-1),      В (0;6;-3),       С (-2;13;-11),  D (-4;4;0).

67.  А (0;4;3),        В (4;8;1),        С (2;15;-7),     D (0;6;4).

68.  А (-2;0;-2),      В (2;4;-4),       С (0;11;-12),   D (-2;2;-1).

69.  А (3;3;-3),       В (7;7;-5),       С (5;14;-13),   D (3;5;-2).

70.  А (4;-2;5),       В (8;2;3),        С (6;9;-5),       D (4;0;6).

71.  А (-5;0;1),       В (-4;-2;3),      С (6;2;11),      D (3;4;9).

72.  А (1;-4;0),       В (2;-6;2),       С (12;-2;10),   D (9;0;8).

73.  А (-1;-2;-8),     В (0;-4;-6),      С (10;0;2),      D (7;2;0).

74.  А (0;2;-10),     В (1;0;-8),       С (11;4;0),      D (8;6;-2).

75.  А (3;1;-2),       В (4;-1;0),       С (14;3;8),      D (11;5;6).

76.  А (-8;3;-1),      В (-7;1;1),     С (3;5;9),        D (0;7;7).

77.  А (2;-1;-4),      В (2;-3;-2),      С (13;1;6),      D (10;3;4).

78.  А (-4;5;-5),      В (-3;3;-3),      С (7;7;5),        D (4;9;3).

79.  А (-2;-3;2),      В (-1;-5;4),      С (9;-1;12),     D (6;1;10).

80.  А (-3;4;-3),      В (-2;2;-1),      С (8;6;7),        D (5;8;5).

В задачах 81-90 даны координаты точек А, В и С. Требуется: 1) составить каноническое уравнение прямой АВ; 2) составить уравнение плоскости, проходящей через точку С перпендикулярно прямой АВ и точку пересечения этой плоскости с прямой АВ; 3) найти расстояние от точки С до прямой АВ.

81.  А (3;-1;5), В (7;1;1), С (4;-2;1).

82.  А (-1;2;3), В (3;4;-1), С (0;1;-1).

83.  А (2;-4;7), В (6;-1;3), С (3;-4;3).

84.  А (0;-2;6), В (4;0;2), С (1;-8;2).

85.  А (-3;1;2), В (1;3;-2), С (-2;0;-2).

86.  А (-2;3;1), В (2;5;-3), С (-1;2;-3).

87.  А (-4;0;8), В (0;2;4), С (-3;-1;4).

88.  А (1;4;0), В (5;6;-4), С (2;3;-4).

89.  А (4;-4;9), В (8;-2;5), С (5;-5;5).

90.  А (5;5;4), В (9;7;0), С (6;4;0).

В задачах 91-100 даны координаты точек А, В, С и М.

Найти: 1) уравнение плоскости Q, проходящей через точки А, В и С; 2) канонические уравнения прямой, проходящей через точку М перпендикулярно плоскости Q; 3) точки пересечения полученной прямой с плоскостью Q и с координатными плоскостями хОу, хОz, уОz; 4) расстояние от точки М плоскости Q.

91.  А (-3;-2;-4),     В (-4;2;-7),      С (5;0;3),        М (-1;3;0).

92.  А (2;-2;1),       В (-3;0;-5),      С (0;-2;-1),      М (-3;4;2).

93.  А (5;4;1),        В (-1;-2;-2),     С (3;-2;2),       М (-5;5;4).

94.  А (3;6;-2),       В (0;2;-3),       С (1;-2;0),       М (-7;6;6).

95.  А (1;-4;1),       В (4;4;0),        С (-1;2;-4),      М (-9;7;8).

96.  А (4;6;-1),       В (7;2;4),        С (-2;0;-4),      М (3;1;-4).

97.  А (0;6;-5),       В (8;2;5),        С (2;6;-3),       М (5;0;-6).

98.  А (-2;4;-6),      В (0;-6;1),       С (4;2;1),        М (7;-1;-8).

99.  А (-4;-2;-5),     В (1;8;-5),       С (0;4;-4),       М (9;-2;-10).

100. А (3;4;-1),       В (2;-4;2),       С (5;6;0),      М (11;-3;-12).