Раздел 3. Задача составления смеси

Раздел 1. Планирование производства

1. Магазин ЛУГАНЬ продает два вида безалкогольных напитков: колу «Буратино» известного производителя и колу «Лугань» собственного производства. Доход от одной банки колы «Буратино» составляет 5 грн, тогда как доход от одной банки собственной колы — 7 грн. В среднем магазин за день продает не более 500 банок обоих напитков. Несмотря на то что «Буратино» — известная торговая марка, покупатели предпочитают колу «Лугань», поскольку она значительно дешевле. Подсчитано, что объемы продаж колы «Лугань» и «Буратино» (в натуральном исчислении) должны соотноситься не менее 2:1. Кроме того, известно, что магазин продает не менее 100 банок колы «Буратино» в день.

Сколько банок каждого напитка должен иметь магазин в начале рабочего дня для максимизации дохода?

Постройте математическую модель задачи и решите ее.

2. Мебельная фабрика для сборки столов и стульев привлекает к работе на 10 дней четырех столяров. Каждый столяр тратит 2 часа на сборку стола и 30 минут — на сборку стула. Покупатели обычно приобретают вместе со столом от четырех до шести стульев. Доход от одного стола составляет 135 долл. и 50 долл. — от одного стула. На фабрике установлен 8-часовой рабочий день.

Определите структуру производства (на 10 рабочих дней), которая максимизировала бы суммарный доход.

Постройте математическую модель задачи и решите ее.

3. Завод ЭЛЕКТРА производит два типа электрических двигателей, каждый на отдельной сборочной линии. Производительность этих линий составляет 600 и 750 двигателей в день. Двигатель первого типа использует 10 единиц некоего комплектующего, а двигатель второго типа — 8 единиц этого же компонента. Поставщик может обеспечить на день 8000 единиц этих деталей. Доходность изготовления двигателя первого типа составляет 60, второго — 40 долл.

Определите оптимальную структуру ежедневного производства двигателей.

Постройте математическую модель задачи и решите ее.

4. Консервный завод ЧУМАК перерабатывает за смену 60 000 кг спелых помидоров (7 грн за кг) в томатный сок и пасту. Готовая продукция пакетируется в упаковки по 24 банки. Производство одной банки сока требует одного кг спелых помидоров, а одной банки пасты — 0,35 кг. Заводской склад может принять за смену только 2 000 упаковок сока и 6 000 упаковок пасты. Оптовая цена одной упаковки томатного сока составляет 18 долл., одной упаковки томатной пасты — 9 долл.

Определите оптимальную структуру производства консервного завода.

Постройте математическую модель задачи и решите ее.

5. Мебельная фабрика собирает из готовых комплектующих два вида кухонных шкафов: обычные и дорогие. Обычный шкаф покрывается белой краской, а дорогой — лаком. Покраска и покрытие лаком производятся на одном производственном покрасочном участке. Сборочная линия фабрики ежедневно может собирать не более 200 обычных шкафов и 150 дорогих. Лакирование одного дорогого шкафа требует вдвое больше времени, чем покраска одного простого. Если покрасочный участок занят только лакированием дорогих шкафов, то за день здесь можно подготовить 180 таких шкафов. Фабрика оценивает доход от обычных и дорогих кухонных шкафов в 100 и 140 долл. соответственно.

Необходимо составить оптимальное ежедневное расписание работы покрасочного участка.

Постройте математическую модель задачи и решите ее.

6. Компания «Стол и стул» производит и продает два изделия. При продаже каждой единицы изделия 1 компания получает прибыль $12, а при продаже единицы изделия 2 — $4. Требования к затратам рабочего времени на производство изделий в трех цехах приводятся в таблице. Начальники цехов оценили, что на следующей неделе ресурс рабочего времени составит в первом цехе 800 ч, в цехе 2 — 600 ч, в цехе 3 — 2000 ч.

Сколько изделий каждого вида необходимо производит, чтобы получить максимальную прибыль?

Постройте математическую модель задачи и решите ее.

7. В выпуске двух продуктов задействованы три станка. Чтобы выпустить 1 кг продукта каждый станок должен отработать определенное количество часов. Данные приводятся в таблице. Ресурс рабочего времени для станка 1 составляет 10 ч, для станка 2 — 16 ч и для станка 3 — 12 ч. Удельная прибыль в расчете на 1 фунт составляет S4 для продукта 1 и $3 для продукта 2.

Сколько изделий каждого вида необходимо производит, чтобы получить максимальную прибыль?

Постройте математическую модель задачи и решите ее.

8. Предприятие электронной промышленности выпускает две модели радиоприемников, причем каждая модель производится на отдельной технологической линии. Суточный объем первой линии 60 изделий, второй линии 80 изделий. На радиоприемник первой модели расходуется 15 однотипных элементов электронных схем, на радиоприемник второй модели 10 таких же элементов. Максимальный суточный запас используемых элементов равен 950 единиц. Прибыли от реализации одного радиоприемника первой и второй моделей равны 40$ и 20$ соответственно. Определите оптимальные суточные объемы производства первой и второй моделей на основе математической модели задачи.

9. Полиграфическая компания выпускает рекламные издания «Восточный курьер» и «Бесплатка», которые покупатели могут брать в местных магазинах и ресторанах. Компания получает доход, продавая место для размещения рекламы в своих изданиях. Стоимость «Восточный курьер» составляет $50 за тысячу экземпляров, а стоимость «Бесплатки» — $100 за тысячу экземпляров. Чтобы напечатать тысячу экземпляров «Восточный курьер» требуется один час, а печать тысячи экземпляров «Бесплатки» занимает всего полчаса. На следующей неделе ресурс времени печати составит 120 ч. Обе рекламные газеты складываются фальцевальной машиной, ресурс рабочего времени которой составляет 200 ч в неделю, причем она складывает обе газеты с одинаковой скоростью 1000 экземпляров в час. Компания хочет полностью использовать время печатного станка, минимизировав при этом затраты на производство печатной продукции. Определите оптимальный производственный план и его минимальную стоимость.

Постройте математическую модель задачи и решите ее.

0. Компания производит два вида шин. Шины LF — это металлокордные, защищенные от проколов, стойкие к износу шины. Другой вид шин, LH — это простые недорогие шины с гарантией на 40 000 миль. Удельная прибыль компании составляет $50 с каждой шины LF и $10 с каждой шины LH. Оба вида шин производятся на одном заводе, их производство осуществляется на одних и тех же станках. В двухэтапном процессе изготовления шин участвуют станок А и станок В. Время работы станков, затраченное на изготовление одной шины, показано в таблице.

Для дилера компании надо произвести 20 покрышек LH, a 4 покрышки LF были обещаны сыну директора.

Определите производственный план, максимизирующий прибыль.

Постройте математическую модель задачи и решите ее.

Раздел 2. Финансовое планирование

1. Сидоров — президент инвестиционной фирмы, которая управляет инвестиционными портфелями нескольких клиентов. Новый клиент поручает фирме управление своим портфелем в размере $100 000. Клиент хочет ограничиться покупкой акций трех компаний, характеристики которых представлены в таблице. Постройте математическую модель задачи и определите сколько акций каждой компании должен купить Сидоров, чтобы оптимизировать ожидаемых годовой доход.

2. Инвестиционная компания должна определить, куда вложить средства в размере $10 млн. Цель — максимизировать ожидаемый доход в следующем году. Четыре возможных варианта вложения средств представлены в таблице. Компания также приняла решение, что не менее 30% средств должно быть вложено в обыкновенные акции и долгосрочные казначейские облигации и не более 40% — в фонды денежного рынка и муниципальные облигации. Необходимо инвестировать все имеющиеся $10 млн. Постройте математическую модель задачи и определите, куда и сколько необходимо вложить средств, чтобы получить максимально возможный доход.

3. Банк ФОРУМ в течение нескольких месяцев планирует вложить до 200 000 долл. в кредитование частных лиц (клиентов), покупок автомобилей и покупок жилья. Банковские комиссионные составляют 14% при кредитовании частных лиц, 12% при кредитовании покупок автомобилей и 11% при кредитовании покупок жилья. Все типы кредитов возвращаются в конце годичного периода кредитования. Известно, что около 3% клиентских, 2% автомобильных кредитов и 4% кредитов на покупку жилья никогда не возвращаются. В этом банке объемы кредитов на покупку автомобилей обычно более чем в два раза превышают объемы кредитов для частных лиц.

4. Бизнесмен имеет возможность вложить деньги в два инвестиционных проекта: проект А гарантирует 0,70 долл. на каждый вложенный доллар ежегодно, проект В — 2 долл. на вложенный доллар по истечении двух лет. В проекте А вложения можно делать ежегодно, а в проекте В только в периоды, кратные двум годам.

Постройте математическую модель задачи и определите как инвестировать 100 тыс. долл. для получения максимального дохода в конце третьего года инвестирования.

5. Банк «ФИНАНСЫ И КРЕДИТ» в течение нескольких месяцев планирует вложить до 300 000 долл. в кредитование частных лиц (клиентов), покупок автомобилей и покупок жилья. Банковские комиссионные составляют 13,5% при кредитовании частных лиц, 11% при кредитовании покупок автомобилей и 12,5% при кредитовании покупок жилья. Все типы кредитов возвращаются в конце годичного периода кредитования. Известно, что около 3,5% клиентских, 2% автомобильных кредитов и 1,5% кредитов на покупку жилья никогда не возвращаются. В этом банке объемы кредитов на покупку автомобилей обычно более чем в два раза превышают объемы кредитов для частных лиц.

Найдите оптимальное размещение средств по трем описанным видам кредитования и определите коэффициент возврата по всем кредитам.

6. Частный инвестор предполагает вложить $50 000 в различные ценные бумаги. После консультаций со специалистами фондового рынка, он отобрал 3 типа акций, 2типа государственных облигаций. Часть денег предполагается положить на срочный вклад в банк.

Инвестор выдвигает следующие требования к портфелю ценных бумаг:

Все $50 000 должны быть инвестированы.

По крайней мере $10 000 должны быть на срочном вкладе.

По крайней мере 25% средств, инвестированных в акции должны быть инвестированы в акции с низким риском (С)

В облигации нужно инвестировать по крайней мере столько же сколько в акции.

Не более, чем $12 500 должно быть вложено в бумаги с доходом менее, чем 10%.

7. Гаврилов — президент инвестиционной фирмы, которая управляет инвестиционными портфелями нескольких клиентов. Новый клиент поручает фирме управление своим портфелем в размере $150 000. Клиент хочет ограничиться покупкой акций трех компаний, характеристики которых представлены в таблице. Постройте модель задачи и определите сколько акций каждой компании должен купить Гаврилов, чтобы оптимизировать ожидаемых годовой доход.

8. Инвестиционная компания должна определить, куда вложить средства в размере $14 млн. Цель — максимизировать ожидаемый доход в следующем году. Четыре возможных варианта вложения средств представлены в таблице. Компания также приняла решение, что не менее 35% средств должно быть вложено в обыкновенные акции и долгосрочные казначейские облигации и не более 45% — в фонды денежного рынка и муниципальные облигации. Необходимо инвестировать все имеющиеся $14 млн. Сформулируйте задачу ЛП, позволяющую определить, куда и сколько вложить средств, и найдите ее решение.

9. Бизнесмен имеет возможность вложить деньги в два инвестиционных проекта: проект А гарантирует 0,85 долл. на каждый вложенный доллар ежегодно, проект В — 2,4 долл. на вложенный доллар по истечении двух лет. В проекте А вложения можно делать ежегодно, а в проекте В только в периоды, кратные двум годам.

Как инвестировать 400 тыс. долл. для получения максимального дохода в конце четвертого года инвестирования?

0. Частный инвестор предполагает вложить $150 000 в различные ценные бумаги. После консультаций со специалистами фондового рынка, он отобрал 3 типа акций, 2типа государственных облигаций. Часть денег предполагается положить на срочный вклад в банк.

Инвестор выдвигает следующие требования к портфелю ценных бумаг:

Все $150 000 должны быть инвестированы.

По крайней мере $30 000 должны быть на срочном вкладе.

По крайней мере 25% средств, инвестированных в акции должны быть инвестированы в акции с низким риском (С)

В облигации нужно инвестировать по крайней мере столько же сколько в акции.

Не более, чем $37 500 должно быть вложено в бумаги с доходом менее, чем 10%.

Как инвестировать 150 000 тыс. долл. для получения максимального дохода?

Раздел 3. Задача составления смеси

1. Петров управляет питомником домашних животных. Корм для собак в питомнике готовится из смеси трех зерновых круп, чтобы обеспечить сбалансированное питание. Соответствующие данные приведены в таблице. Петров хочет, чтобы каждая собака потребляла ежедневно не менее 240 г белков, 30 г углеводов и не более 15 г жиров. Сколько каждой крупы должна получать собака, чтобы минимизировать затраты?

2. Компания «Три поросенка» производит два вида приправ для мяса, Бахарат и Бербере. Обе приправы готовятся из двух ингредиентов — А и В, причем рецепты приправ допускают определенную вариативность. Допустимое процентное содержание ингредиентов, а также данные о доходах и затратах приводятся в таблице. Можно закупить до 40 литров ингредиента А и до 30 литров ингредиента В. Компания в состоянии продать все произведенные приправы. Постройте модель ЛП, цель которой -максимизировать чистый доход от продажи приправ.

3. Винодел хочет из смеси четырех сортов винограда приготовить три сорта вина. Имеющиеся количества винограда, требования к составу вина и цены, по которым данные вина продаются, приведены в таблице. В частности, сорта винограда 2 и 3 в сумме должны составлять не менее 75% в смеси для приготовления вина А и не менее 35% в смеси для приготовления вина С. Кроме того, смесь А должна содержать не менее 8% винограда сорта 4, а смесь В — не менее 10% сорта 2 и не более 35% сорта 4. Можно продать все произведенные вина. Постройте модель ЛП, которая позволит наилучшим образом использовать выращенный виноград.

4. У компании «Три поросенка» имеются ограниченные запасы трех ингредиентов, из которых изготавливаются приправы. Ингредиенты А, В и С идут на производство двух приправ: куркумы и паприки. Отдел маркетинга сообщил, что компания сможет продать всю произведенную паприку, но не более 1700 кг куркумы. Неиспользованные ингредиенты можно продать на свободном рынке. Текущие цены ($ за 1 кг): А — 0,60, В — 0,70, С — 0,55. Кроме того, компания заключила контракт на поставку 600 кг паприки. Другие данные представлены в таблице. Сформулируйте задачу в виде модели ЛП максимизации дохода.

5.Миронов, администратор зданий и прилегающих территорий университета планирует ранней весной внести удобрения для травы на лужайке. Для нормального роста траве нужны азот, фосфор и калий как минимум в следующих количествах.

На рынке предлагается три вида минеральных удобрений; содержание требуемых элементов (в фунтах) и цена в расчете на 1000 фунтов представлены в следующей таблице. Миронов может купить любое количество каждого из удобрений и смешать их, прежде чем вносить в почву. Постройте модель ЛП, которая позволит определить, сколько следует купить каждого удобрения, чтобы минимизировать затраты.

6. Небольшая фирма использует два процесса для изготовления двух продуктов: жидкости для стартера и жидкости для зажигалок. Руководство фирмы пытается решить, сколько часов уделить каждому из процессов. Данные опроцессах (в пересчете на один час) приведены в таблице. Пусть х, и х₂ — число часов, выделенных компанией на проведение процессов 1 и 2 соответственно. Федеральной программой компании выделено 300 единиц керосина и 450 единиц бензина. Согласно торговым соглашениям компания должна произвести не менее 600 единиц жидкости для стартера и 225 единиц жидкости для зажигалок. Почасовая прибыль, получаемая при проведении процесса 1 и 2, составляет S450 и $390 соответственно. Сформулируйте задачу в виде модели Л П максимизации прибыли и решите ее.

7. Из четырех видов основных материалов (медь, цинк, свинец, никель) составляют три вида сплавов латуни: обычный, специальный и для художественных изделий. Цены единицы веса меди, цинка, свинца и никеля составляют 0,8 руб., 0,6 руб., 0,4 руб. и 1,0 руб., а единицы веса сплава, соответственно, 2 руб., 3 руб., 4 руб.

Сплав для художественных изделий должен содержать не менее 6% никеля, не менее 50% меди и не более 30% свинца; специальный – не менее 4% никеля, не менее 70% меди, не менее 10% цинка и не более 20% свинца. В обычный сплав компоненты могут входить без ограничений.

Производственная мощность предприятия позволяет выпускать (за определенный срок) не более 400 ед. веса обычного сплава, не более 700 ед. веса специального сплава и не более 100 ед. веса декоративного сплава.

Найти производственный план, обеспечивающий максимальную прибыль.

8. Животноводческая ферма составляет рацион кормления коров на зиму. Имеются два научно разработанных рациона А и В и произвольный рацион С следующих составов:

Заданы следующие предельные нормы расхода каждого продукта, исходя из произведенных заготовок кормов: кукурузного силоса – 200 ц, кормовых трав – 300 ц.

Прибыль при рационе А составляет 10 руб./ц, при рационе В – 12 руб./ц, при произвольном рационе – 5 руб./ц?

Разработайте математическую модель для нахождения максимальной прибыли.

9.Нефтеперерабатывающая компания использует три типа нефти для производства трех сортов бензина. Каждый сорт бензина производится путем смешивания всех трех типов нефти. Цены за нефть и бензин, в расчете на 1 баррель (баррель= 159 л), приведены в таблице

Возможности по закупке нефти каждого типа ограничены 5000 баррелей в день. Вместе с тем мощность нефтеперерабатывающего завода компании ограничена выпуском 14000 баррелей бензина в день. При этом стоимость переработки одного барреля нефти в один баррель бензина составляет $4 независимо от типа нефти и сорта бензина.

Готовая продукция отличается октановым числом и содержанием серы. Смешанная нефть для производства бензина первого сорта должна содержать не более1% серы и иметь октановое число не менее 10. Для второго сорта бензина смешанная нефть должна содержать не более 2% серы и иметь октановое число не менее 8, для третьего сорта – не более 1% и не менее 6, соответственно.

Закупаемая нефть имеет различное содержание указанных компонентов в зависимости от типа нефти. Соответствующие данные приведены в следующей таблице:

Постоянные клиенты нефтеперерабатывающей компании покупают ежедневно следующее количество бензина различных сортов:

1 – й сорт–3000 баррелей;

2 – й сорт–2000 баррелей;

3 – й сорт–1000 баррелей.

Компания постоянно заботится о своей репутации, поэтому она считает своим долгом полностью выполнять обязательства по поставкам готовой продукции. Однако, используя рекламу, компания имеет возможность увеличить потребность в собственной продукции. Известно, что каждый доллар, вложенный в рекламу любого сорта бензина, увеличиваетпотребностьвнемна10 баррелей.

Используя линейное программирование, определите оптимальную политику нефтеперерабатывающей компании, обеспечивающую ей максимум прибыли

0.Диета человека, желающего похудеть, требует, чтобы все пищевые продукты, которые он употребляет в пищу, были из следующих четырех основных групп: печенье, мороженое, прохладительный напиток и пицца. В настоящее время доступными являются4 продукта: тульский пряник, шоколадное мороженое, пепси-кола и пицца. Тульский пряник стоит1 грн. 50 коп., шоколадное мороженое−60 коп., бутылка пепси-колы−90 коп. и пицца−2 грн. 40 коп. Ежедневно он должен «проглотить», по меньшей мере, 500 калорий, 60 г шоколада, 100 г сахара и 80 г жиров.

Содержание пищевых элементов на единицу каждого продукта представлено ниже в таблице.

Сформулируйте модель линейного программирования, чтобы удовлетворить дневную потребность в пищевых элементах с минимальной стоимостью продуктов питания.