Проектирование систем в пространстве состояния

Метод синтеза по заданному расположению полюсов системы используется для непрерывных и дискретных систем автоматического управления.    С расположением полюсов замкнутой системы управления непосредственно связаны многие динамические характеристики системы: время установления переходного процесса, показатели колебательности процесса, время достижения первого максимума и др.

Метод синтеза непрерывной системы по заданному расположению полюсов применяется к моделям в форме пространства состояния:

                                                                              (3.5)

где x – - вектор состояния; u – - вектор управления; y – - вектор выходных переменных.

При использовании управления в форме обратной связи по состоянию  динамика системы определяется уравнением . Полюса замкнутой системы в этом случае определяются как собственные значения матрицы .

Для обеспечения требуемых динамических характеристик замкнутой системы синтез управления выполняется в следующем порядке:

1. Исходя из требований к переходному процессу, выбирается расположение полюсов передаточной функции замкнутой системы на комплексной плос­кости.

2. Рассчитываются значения коэффициентов обратных связей, при которых такое расположение полюсов достигается.

Если пара матриц  управляема, то можно вычислить матрицу   коэффициентов обратной связи , которая обеспечит любое желаемое расположение полюсов на комплексной плоскости. Этот метод называется методом модального синтеза или методом размещения полюсов.

Если в непрерывной системе не все координаты вектора состояния  доступны для непосредственного измерения, то можно использовать наблюдающее устройство, которое будет формировать оценки x переменных вектора состояния  по известным векторам входов и измерений.

Наблюдающее устройство описывается следующим дифференциальным уравнением:

                                 ,                          (3.6)

где  – неизвестная матрица постоянных коэффициентов. Полюсами наблюдателя (3.6) являются собственные значения матрицы , которые могут быть назначены произвольно путем выбора коэффициентов обратных связей по переменным вектора состояния наблюдателя , т.е. путем задания элементов матрицы . Для того, чтобы это можно было сделать, пара матриц  должна быть наблюдаемой.

Как правило, процессы в устройстве наблюдения должны протекать  быстрее, чем процессы в управляемой системе, которые определяются собственными значениями матрицы .

Замена переменных вектора состояния  их оценками  приводит к закону управления вида . В результате получим уравнения, описывающие динамику наблюдателя и закон управления:

                                             (3.7)

Введем ошибку . Уравнения динамики замкнутой системы управления в новых переменных состояния имеют вид

                          .

Из этих уравнений следует, что так же как в дискретных системах (см. подразд. 2.2.7.4), можно независимо назначать полюсы наблюдателя и замкнутой системы управления, используя соответственно матрицы  и .

Функции и команды. Для определения управляемости системы (3.5) функция U = ctrb(A,B) или U = ctrb(sys) формирует для пары матриц ,  матрицу управляемости

                                          ,

размером  строк и  столбцов. Система является управляемой, если матрица управляемости имеет полный ранг. Если система (3.5) является неуправляемой, то количество неуправляемых мод равно разности порядка системы и ранга матрицы .

Пример 3.8. Рассмотрим задачу проверки управляемости линейной системы:

>>A=[1 1; 4 –2];

>>B = [1 –1; 1 –1];

>>U= ctrb(A,B)

U =

1 –1 2 –2

1 –1 2 –2

>>unco = length(A) – rank(U) % Количество неуправляемых мод

unco = 1

Функция N = obsv(A,C) или N = obsv(sys) формирует матрицу наблюдаемости  для системы с матрицами  и . Размерность матрицы :  строк и n столбцов. Система наблюдаема, если матрица  имеет полный ранг.

Метод модального синтеза реализован в функциях acker, place, reg и estim, входящих в состав пакета прикладных программ Control System Toolbox.

Функция k = acker(A,B,p) предназначена для расчета вектора k коэффициентов обратных связей закона управления  для заданной одномерной системы вида

                                                 .

Желаемое расположение полюсов матрицы  замкнутой системы задается вектором p.

Этот метод в вычислительном отношении плохо обусловлен и приводит к значительным погрешностям, когда порядок динамической системы становится большим пяти и в случае плохо управляемых систем. Для более точных и надежных вычислений следует использовать функцию place, которая применима как в случае одномерных, так и в случае многомерных систем:

K = place(A,B,p)

где p – вектор желаемых положений полюсов замкнутой системы в комплексной плоскости,  – матрица или вектор коэффициентов обратной связи .

Замечание. Если для системы со скалярным управлением необходимо разместить два или более корней на одно и то же место, функция place     не работает. В этом случае можно использовать функцию acker.

Функции acker и place применимы как к непрерывным, так и к дискретным моделям динамических систем. Эти функции можно использовать для расчета вектора  коэффициентов обратных связей наблюдателя при оценивании вектора переменных состояния, если при обращении к ним использовать сопряженную систему . Например:

L=place(A’,C’,p)

Функция est = estim(sys, L) формирует наблюдающее устройство в виде ss-объекта est для оценивания вектора переменных состояния объекта управления sys и для заданной матрицы коэффициентов обратных связей наблюдателя . Функция estim генерирует оценки переменных состояния  и выхода  объекта управления в соответствии с уравнениями:

Для дискретной модели наблюдатель описывается аналогичными уравнениями.

Функция rsys = reg(sys,K,L) формирует динамический регулятор rsys для заданной в пространстве состояния модели объекта управления sys, матрицы  коэффициентов обратных связей по переменным состояния и матрицы  коэффициентов обратных связей наблюдателя. Функция reg работает как с непрерывными, так и с дискретными системами.

Рис. 3.14

Пример 3.9. Рассмотрим непрерывную систему, описываемую дифференциальным уравнением

.                                             (3.8)

Вводя переменные состояния , эту систему можно записать в виде модели пространства состояния

Определим эту систему в MATLAB и произведем ее дискретизацию с периодом с:

»A=[0 1; 0 0];

»B = [0; 1];

»C = [1 0]; D=0;

»sys = ss(A,B,C,D);

»sysd=c2d(sys,0.44)

a =

                   x1      x2

      x1       1    0.44

      x2       0       1

b =

                   u1

      x1  0.0968

      x2    0.44

c =

                   x1      x2

      y1       1       0

d =

                   u1

      y1       0

Sampling time: 0.44

Discrete-time model.

Зададим желаемое расположение корней исходя из требований к переходному процессу. Учитывая, что время регулирования в непрерывной системе определяется корнями характеристического уравнения , желаемые корни замкнутой дискретной системы найдем по формулам , . Полагая  при  найдем вектор желаемого расположения корней:

>>r =[0.697+0.224i 0.697–0.224i];

Вычислим вектор  коэффициентов обратных связей по переменным состояния:

>>K = place(sysd.A,sysd.B,r)

place: ndigits= 15

K =

0.73267076128969 1.21395181379464

Используя управление в форме обратной связи по состоянию , определим замкнутую систему и построим ее реакцию при начальных условиях  для дискретных моментов времени (рис. 3.15):

>>A1=sysd.A-sysd.B*k

>>B1=[0; 0];

>>sysd.a=A1; sysd.b=B1;

>>x0=[1; 0];

>>initial(sysd,x0,15)

Рис. 3.15

Предположим, что состояния системы недоступны непосредственному измерению. Используем для оценки состояния системы наблюдающее устройство. Потребуем, чтобы матрица  наблюдателя имела два собственных значения , , для которых найдем вектор коэффициентов :

>>z=[0.748 0.75];

>>l=place(sysd.A',sysd.C',z)

place: ndigits= 15

l =

0.51000000000000 0.14772727272727

По вычисленным векторам обратных связей K и L определим динамический регулятор и объединим его с объектом управления положительной обратной связью:

>>rsys=reg(sysd,k,l');

>>sysdr=feedback(sysd,rsys,1)

a =

        x1     x2     x3      x4

x1       1   0.44 -0.070923 -0.11751

x2       0      1 -0.32238 -0.53414

x3    0.51      0 0.41908 0.32249

x4 0.14773      0 -0.4701 0.46586

b =

         u1

 x1  0.0968

 x2    0.44

 x3       0

 x4       0

c =

        x1      x2      x3     x4

 y1      1       0       0      0

d =

         u1

 y1       0

Sampling time: 0.44

Discrete-time model.

Построим реакцию полученной замкнутой системы для дискретных моментов времени с помощью следующих операторов:

>>x0r=[1; 0; 0; 0];

>>initial(sysdr,x0r,15);

Переходный процесс по выходу для дискретных моментов времени при  и нулевых начальных условиях наблюдающего устройства приведен на рис. 3.16, из которого следует, что введение наблюдающего устройства приводит к ухудшению качества переходных процессов замкнутой системы.

                                                    Рис. 3.16

Окончательное суждение о качестве переходных процессов исходной непрерывной системы (3.8), замкнутой кусочно-постоянным управлением, проводится по результатам ее моделирования с помощью пакета Simulink. Блок-схема замкнутой системы представлена на рис. 3.17, где модель непрерывного объекта управления и дискретного регулятора представлены с помощью определенных ранее LTI моделей sys и rsys. Выбор LTI моделей осуществляется с помощью окна Simulink Library Browser из раздела меню Control System Toolbox.

          Рис. 3.17                                                        Рис. 3.18

                    Рис. 3.19                                                Рис.3.20

После раскрытия LTI блока указывается его имя sys и вводятся начальные условия в строке Initial states, как показано на рис. 3.18. Аналогично задается блок rsys. Переходные процессы для выхода  и кусочно-постоянного управления  приведены на рис. 3.19 и рис.3.20 соответственно. Из переходных процессов рис. 3.16 и рис. 3.19 следует, что в замкнутой системе отсутствуют скрытые колебания между моментами квантования с периодом дискретности с.

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

В качестве контрольного задания предлагаются комплекты задач, решение которых опирается на теоретический материал и программные средства, изложенные в разд. 1-3 соответственно. Для каждой задачи предусмотрены варианты исходных данных, приведенные в таблицах.

                           4.1. Исходные данные и варианты

Задача 4.1. Дана нелинейная замкнутая САУ, состоящая из нелинейности и линейной части (рис. 1.16 при ).

Построить фазовый портрет, используя метод припасовывания, при передаточной функции  и соответствующей нелинейности.

Исходные данные приведены в табл. 4.1.

                                                                                        Таблица 4.1

Исходные данные	Варианты
Тип нелинейности	1	2	3	4	5
	(рис.1.5)	(рис.1.6)	(рис.1.2)	г (рис.1.3)	д (рис.1.1)
	5	12	15	20	10
	0,5	1	1	0,4	–
	–	0,1	1	0,1	0,2
	–	–	–	0,5	–
	–	–	–	–	45°

Задача 4.2. Используя метод гармонической линеаризации, определить условия существования автоколебаний в нелинейной САУ, изображенной на рис. 1.16 (при ) с передаточной функцией

              ,

где ; ;  при заданной нелинейности из табл. 4.1.

Найти параметры автоколебаний и исследовать их устойчивость. Применить методы, основанные на критерии Михайлова и Найквиста (метод Гольдфарба).

Исходные данные приведены в табл. 4.1. Коэффициенты гармонической линеаризации приведены в табл. 4.2.

                                     Таблица 4.2

Тип нелинейности
	при
	при
г	при
д	при

Коэффициент  для всех приведенных нелинейностей.

Задача 4.3. Используя частотный критерий устойчивости Попова, исследовать абсолютную устойчивость состояния равновесия нелинейной САУ, приведенной на рис. 1.16 с передаточной функцией линейной части

               ,

где с, с,  при заданной нелинейности из табл. 4.1.

Задача 4.4. Для импульсной системы, представленной на рис. 2.29, провести синтез корректирующего устройства по заданным показателям качества: время регулирования с, перерегулирование ; построить переходный процесс по выходу. На входе действует сигнал ; передаточная функция фиксатора нулевого порядка имеет вид , где с; вид передаточной функции непрерывного объекта управления представлен в табл. 4.3.

Задача 4.5. Для импульсной системы с исходными данными задачи 4.4 построить дискретную модель в пространстве состояний (2.60) и провести синтез закона управления (2.64) в случае полных измерений вектора состояния и измерения рассогласования.

Таблица 4.3

№ п/п	Передаточная функция	Варианты параметров	а	б	с
1			10 0,2 0,4	20 0,4 0,6	30 0,6 0,8
2			10 0,3	20 0,4	30 0,6
3			10 0,4 0,05	20 0,5 0,1	30 0,6 0,2
4			1 0,1	10 0,2	15 0,3
5			10 0,2 0,4 0,1	20 0,4 0,6 0,05	25 0,6 0,8 0,2

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Основная

1. Теория автоматического управления. Ч. 2. Теория нелинейных и специальных систем автоматического управления /Под ред. А.А.Воронова. М.: Высшая школа, 1977.

2. Теория автоматического управления /Под ред. А.А.Воронова. М.: Высшая школа, 1986.

3. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1975.

4. Попов Е.П. Теория нелинейных систем автоматического управления и регулирования. М.: Наука, 1983.

5. Красовский А.А., Поспелов Г.С. Основы автоматики и технической кибернетики. М.: Госэнергоиздат, 1962.

6. Шамриков Б.М. Основы теории цифровых систем управления. М.: Машиностроение, 1985.

7. Сборник задач по теории автоматического регулирования и управления /Под ред. В.А Бесекерского. М.: Наука, 1978.

Дополнительная

8. Иванов В.А., Медведев В.С., Чемоданов Б.К., Ющенко А.С. Математические основы теории автоматического регулирования. Т.1,2. М.: Высшая школа, 1977.

9. Цыпкин Я.З. Основы теории автоматических систем. М.: Наука, 1977.

10. Иванов В.А., Ющенко А.С. Теория дискретных систем автоматического управления. М.: Наука, 1983.

11. Куо Б. Теория и проектирование цифровых систем управления. М.: Машиностроение, 1986.

12. Острем К., Виттенмарк Б. Системы управления с ЭВМ. М.: Мир, 1987.

13. Сигалов Г.Г., Мадорский Л.С. Основы теории дискретных систем управления. Минск: Вышэйш. школа, 1973.

14. Стрейц В. Метод пространства состояний в теории дискретных линейных систем управления. М.: Наука, 1985.

15. Дроздов В. Н., Мирошник И. В., Скорубский В. И. Системы автоматического управления с микро-ЭВМ. Л.: Машиностроение, 1989.

16. Катковник В.Я., Полуэктов Р.А. Многомерные дискретные системы управления. М.: Наука, 1966.

17. Гаркушенко В.И., Земляков А.С., Файзутдинов Р.Н. Математические основы теории систем: Учебное пособие. Казань: Изд-во Казан. гос. техн. ун-та, 1999.

18. Потемкин В.Г. Система MATLAB 5 для студентов. М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 1998.

19. Медведев В.С., Потемкин В.Г. Control System Toolbox. MATLAB 5 для студентов. М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 1999.

20. Лазарев Ю.Ф. Matlab 5.x. Киев: Изд. группа BHV, 2000.

21. Говорухин В.Н. Цибулин В.Г. Введение в Maple. М.:Мир, 1997.

22. Теоретическая механика. Вывод и анализ уравнений движения на ЭВМ / В.Г. Веретенников, И.И.Карпов, А.П. Маркеев и др.; Под ред В.Г. Веретенникова. М.: Высшая школа, 1990.