Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Окружность, вписанная в треугольник. Формулы, связывающие элементы треугольника с радиусом вписанной окружности
Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон. Теорема. Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис. Доказательство. Пусть ABC данный, O – центр вписанной в него окружности, D, E и F – точки касания окружности со сторонами. Δ AEO = Δ AOD по гипотенузе и катету (EO = OD – как радиус, AO – общая). Из равенства треугольников следует, что ∠ OAD = ∠ OAE. Значит AO биссектриса угла EAD. Точно также доказывается, что точка O лежит на двух других биссектрисах треугольника. n Удобно уметь вычислять площадь, если даны три стороны. Так как SD = 0,5aha; ha = , где р – полупериметр треугольника; поэтому, SD = . Эта формула была известна еще в древнем мире и носит название формулы Герона.
Выведем формулу, связывающую площадь треугольника с радиусом вписанной окружности (см. рис. 4). SD = SAOB + SBOC + SCOA = 0,5cr + 0,5ar + 0,5br = pr. Также существует формула: , где - высоты треугольника
Окружность, описанная около треугольника. Формулы, связывающие элементы треугольника с радиусом описанной окружности Окружностью называется фигура, состоящая из множества точек плоскости, расположенных на одинаковом расстоянии от некоторой точки О этой же плоскости, называемой центром окружности, а отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, — радиусом окружности. Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины. Вокруг любого треугольника можно описать окружность, притом только одну. Её центром будет являться точка пересечения серединных перпендикуляров. Доказательство. Пусть ABC – данный треугольник и O – центр окружности описанной около данного треугольника. Δ AOB – равнобедренный ( AO = OB как радиусы). Медиана OD этого треугольника одновременно является его высотой. Поэтому центр окружности лежит на прямой, перпендикулярной стороне AC и проходящей через ее середину. Так же доказывается, что центр окружности на перпендикулярах к другим сторонам треугольника. Ч.т.д. Докозательство 2способ
У остроугольного треугольника центр описанной окружности лежит внутри, у тупоугольного— вне треугольника, у прямоугольного— на середине гипотенузы.
3 из 4 окружностей, описанных относительно серединных треугольников (образованных средними линиями треугольника), пересекаются в одной точке внутри треугольника. Эта точка и есть центр описанной окружности основного треугольника. · Центр описанной около треугольника окружности служит ортоцентром треугольника с вершинами в серединах сторон данного треугольника. · Расстояние от вершины треугольника до ортоцентра вдвое больше, чем расстояние от центра описанной окружности до противоположной стороны. Радиус описанной окружности может быть найден по формулам
Где:a,b,c — стороны треугольника, α — угол, лежащий против стороны a, S — площадь треугольника.
Прямая Эйлера Т1. Пусть О — центр окружности, описанной около треугольника ABC, М — точка пересечения его медиан, Н — ортоцентр. Тогда точки О, М,Н лежат на одной прямой, причем М делит отрезок ОН в отношении 2:1, считая от Н. Прямая, содержащая эти точки, называетсяпрямой Эйлера для треугольника ABC. Дано: ∆АВС, ВB1┴АС, СС1 ┴АВ, Н = ВB1∩ СС1, АА2, ВВ2 — медианы ∆АВС, Доказательство.Пусть М1, = ОН∩ВВ2. Тогда ∆М1ОВ2 ~ ∆M1HB , так как OMlB2 = HM1B (как вертикальные), OB2M1 = M1BH (как накрест лежащие при параллельных прямых ОВ2 и ВВ1 и секущей В2В ). Из подобия треугольников ОМ1В2 и НМ1В получаем: . Отношение ОВ2: ВН = 1:2, так как расстояние от центра описанного круга О до стороны ВС вдвое меньше, чем расстояние от вершины В до ортоцентра Н. Тогда из (1) получаем . Но если медиана делится точкой в отношении 2:1, считая от вершины треугольника, то это точка — центроид треугольника, т.е. точка совпадает с точкой М. А это означает, что точки Н М, О лежат на одной прямой, так как точкой М1 мы обозначили точку пересечения ОН с медианой ВВ2.Из (1) имеем .Так как = М , то n Окружность Эйлера
Окружность носит название окружности девяти точек или окружности Эйлера. Дано: АВС, А1 — середина ВС, В1 — середина АС, С1 — середина АВ, ВН2 перпендик. АС, Н2€АС,АН1перпенд.ВС,H1,€ВС,СН3перп.АВ,H3 €АВ, АH1пересеч. ВH2 и с СH3= Н , А2— середина АH, В2 — середина ВH, С2 — середина СH (рис. 6.11). Доказать: А1, В1, С1, H1, H2, H3, A2, В2, С2 — лежат на окружности. Доказательство. 1) Рассмотрим четырехугольник A2C1A1C2. С1А1 — средняя линия ∆АВС .Значит, С1А1 || АС и С1A1 = 1/2АС;
2) C1,A2 — средняя линия ∆АВH . Значит, С1A2 || ВH . Следовательно, С1A2 1 A2C2 , так как А2С2|| АС. 3) Таким образом, С1А2С2А1— прямоугольник. Тогда существует окружность, диаметром которой является отрезок С1С2 (т. е. точка Е— середина С1С2 — ее центр), которой принадлежат точки А2, С1, А1, С2. 4) С1В2С2В1— прямоугольник, так как: а) С1В1 — средняя линия ∆АВС . Значит, С1В1 || ВС и С1В1 = 1/2ВС. б) С2В2 — средняя линия ∆ВHС . Значит, С2В2|| С В и С2В2 = 1/2СВ . в) С1В2перп.В2С2, так как С1В2|| АH и В2С2|| АН . 5) С1С2 — диаметр окружности (центр окружности Е), описанной около прямоугольника В1С1В2С2.Таким образом, точки С, В2, Д, С2, В1, А2 принадлежат окружности с центром Е и диаметром С,С2. 6) E— середина диагонали С,С2 прямоугольников С,A2С2A1 и С1В1С2В1. Значит, и вторые диагонали A1А2 и В,В2 соответственно прямоугольников С,A2С2A1 и С1В2С2В1проходят через точку Е, так как диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Значит, A1A2 и В,В2 —тоже диаметры этой окружности. 7) УГОЛ B2H2B 1= 90°, так как ВН2перп. А С, и этот угол опирается на диаметр В2В, окружности с центром Е. Значит, Н2лежит на окружности. Аналогично угол А2H1A1 = 90° и A1A2 — диаметр окружности. Значит, точка H, лежит на окружности. уголC1H3C2 = 90° и С,С2 — диаметр окружности. Следовательно, точка H3 принадлежит окружности. Таким образом, все девять точек лежат на окружности. Теорема доказана. Tеорема 6.15.Центр Е окружности девяти точек треугольника лежит на середине отрезка ОН, где Н — ортоцентр треугольника, О — центр описанной окружности, а радиус окружности девяти точек равен половине радиуса описанной около треугольника окружности Теорема 6.16. Расстояние между центрами О и I описанной и вписанной окружностей треугольника и радиусы R и .rэтих окружностей связаны формулой: OI2 = R2 - 2Rr, называемой формулой Эйлера. Вневписанная окружность. Опр1. Окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжений двух других его сторон, называется вневписанной окружностью. На рис. окружность касается стороны ВС(а) треугольника АВС и продолжений его сторон АС(b) и АВ(с). Центр окружности часто обозначаютIа (окружность касается стороны а), а радиус —rа . T1. Центр вневписанной окружности треугольника лежит на пересечении биссектрис двух внешних углов и внутреннего угла треугольника, лежащего против стороны касания с окружностью. Дано: ∆АВС, Доказать: существует Iа — точка пересечения биссектрис углов CAB, МСВ, NBC, где М АС, МС + СА = AM , N АВ иNB + ВА = NA . Доказательство: 1)Проведем биссектрису угла CAB. Тогда любая ее точка равноудалена от сторон АС и АВ угла. 2) Проведем биссектрису угла МСВ. ТочкаIа пересечения этой биссектрисы и биссектрисы углаCAB равноудалена от стороны ВС и продолжений сторон АВ и АС. Значит, точкаIа лежит на биссектрисе углаCBN. 3)Таким образом,Iа — точка пересечения биссектрисы внутреннего углаCAB и двух биссектрис внешних углов МСВ иNBC треугольникаAВС. Если . n T2. Точка касания вневписанной окружности треугольника делит его периметр пополам. Дано: ∆ABC,Iа — центр вневписанной окружности,IаК — радиус вневписанной окружности, проведенный в точку касания со стороной ВС. Доказать: АС + СК = АВ + ВК. Доказательство. AT = АР, СТ = СК , ВК = BP как отрезки касательных, проведенные из одной точки. 2АТ = АТ + АР = AC + СТ + АВ + BP = Т3. Площадь Sтреугольника АВС равна . Док-во: n |
|||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2018-05-27; просмотров: 344. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |