Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Вынужденные одномерные колебания
Часто механические системы, совершающие малые колебания, подвергаются воздействию внешней вынуждающей силы, зависящей от времени. Пусть потенциальная энергия одномерной системы в поле вынуждающей силы равна . Разложим ее в ряд вблизи положения равновесия, ограничиваясь приближением первого порядка (5.21) где введено обозначение для производной от потенциальной энергии по координате, вычисленной в положении равновесия. Слагаемое не зависит от обобщенных координат и обобщенных скоростей и поэтому не дает вклада в уравнения Лагранжа. Отбросим его и запишем функцию Лагранжа механической системы, находящейся в поле внешней вынуждающей силы: (5.22) При подстановке ее в уравнение (5.7) получим уравнение вынужденных колебаний (5.23) Уравнение (5.23) — это уже неоднородное дифференциальное уравнение. Его решение дается суммой общего решения однородного уравнения (5.10) и частного решения уравнения (5.23): (5.24) Наиболее интересным случаем вынужденных колебаний является случай, когда внешняя обобщенная сила представляет собой гармоническую функцию (5.25) где — действительная постоянная. Для гармонической вынуждающей силы уравнение (5.23) удобно записать и решать в комплексной форме: (5.26) В правой части уравнения (5.26) стоит экспонента. Поэтому его частное решение также ищем в форме экспоненты . Подставляя в такой форме в уравнение (5.26), находим постоянную : (5.27) Представим постоянную в экспоненциальной форме , где ; (5.28) Тогда действительная часть общего решения уравнения(5.23) с гармонической вынуждающей силой (5.25) запишется в виде (5.29) В отсутствие трения вынужденные колебания (5.29) являются суммой свободных колебаний с частотой и вынужденных колебаний с частотой вынуждающей силы и амплитудой, зависящей от частоты: (5.30) Фаза вынужденных колебаний совпадает с фазой вынуждающей силы. Амплитуда вынужденных колебаний растет при . Если , то наступает резонанс и решение (5.30) не имеет смысла. В этом случае частное решение уравнения (5.26) необходимо искать в виде Для постоянной получаем значение (5.31) Уравнение малых колебаний в случае резонанса принимает вид *. (5.32) При резонансе фаза вынужденных колебаний на отличается от фазы вынуждающей силы. Амплитуда вынужденных колебаний монотонно растет с течением времени, и колебания быстро перестают быть малыми. Рассмотрим поведение системы вблизи резонанса, когда частота вынуждающей силы мало отличается от частоты свободных колебаний. Положим, что , где . Выражение (5.30), записанное в комплексной форме, можно привести к виду (5.33) В выражении (5.33) нужно учитывать только действительную часть, которая равна , (5.34) где (5.35) Уравнение (5.34) можно интерпретировать как уравнение колебаний с часютой , амплитуда и начальная фаза которых медленно меняются с частотой . Как видно из (5.35), амплитуда заключена в пределах (5.36) Если и близки друг к другу, то временами колебания будут почти прекращаться, а после опять возобновляться. Такое поведение системы называют биениями. Перейдем к общему случаю, когда присутствует трение При наличии трения первое слагаемое в (5.29) быстро обращается в нуль за счет экспоненциального множителя. В установившемся режиме остается только второе слагаемое. Вынужденные колебания происходят с частотой вынуждающей силы, но отстают от нее по фазе. Начальная фаза вынужденных колебаний, как видно из (5.27) и (5.28), лежит в пределах . При сильном трении, когда , амплитуда вынужденных колебаний монотонно убывает с ростом частоты вынуждающей силы. Если трение мало, то амплитуда максимальна при резонансной частоте . Рассмотрим отдельно случай, когда трение очень мало: . Тогда в первом приближении по резонансная частота совпадает с частотой . Вблизи резонанса положим ,где . В первом приближении по и для амплитуды и начальной фазы вынужденных колебаний получим ; (5.37) При резонансе, как и в отсутствие трения, колебания отстают от вынуждающей силы на . Однако амплитуда остается при этом ограниченной. Как было показано ранее, энергия колебаний пропорциональна квадрату амплитуды. График квадрата амплитуды в зависимости от приведен на рис. 5.1. Это — типичная резонансная кривая. Если обозначить через частоту, для которой квадрат амплитуды уменьшается в два раза, то находим, что . Для характеристики систем, совершающих вынужденные колебания, вводится понятие добротности. Добротность — это отношение максимальной амплитуды для резонансной частоты к амплитуде, отвечающей близкой к нулю частоте вынуждающей силы. Используя выражение (5.28) для амплитуды и считая малой величиной, найдем для добротности значение: (5.38) то есть чем выше добротность, тем меньше полуширина резонансной кривой и тем выше поднимается ее пик.
|
||
Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 392. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |