Область целостности.Теорема о конечной области целостности.

Областью целостности наз. коммутативное кольцо без делителей нуля.

Теор.Конечная область целостности явл полем.Поле-кольцо, умножение которого коммутативно,а каждый нулевой элемент a имеет обратный элемент относительно умножения т.к. область целостности,по опр. Явл. коммутат. Кольцом,то достаточно доказать,что для конечной области целостности любой ненулевой элемент обратим,т.е. для всякого a¹0$!x,такой что ax=1I.Фиксируем произ. элемент a¹0 и определяем отображение f_a множества всех ненулевых элементов в себя по формуле f_a(x)=ax(ax¹0 в области целостности при a¹0 и x¹0.Отображение f_aявл. инъекцией поскольку из равенства ax=ay вытекает равенство a(x-y)=0,откуда ввиду отсутствия делителей нуля x-y=0 и x=y т.к. носитель по условию конечен, то согласно теореме(если А-конечное мн-во и f:A®A-инъекция,то она явл. сюръекцией и Þ биекцией),f_a так же и биекция. Поэтому для "у$!х такой ,что у=ax, в частности ,при y=1 равенство ax=1I вып. для некоторого однозначно определенного x,т.е. x=a^-1

Док-во теормы опирается на условие конечности кольца.Это условие действительно важно.пример кольца умных чисел показывает,что область целостности может быть и не полем.

Регулярные языки.Индуктивная процедура порождения регулярных языков.Регулярные выражения.Полукольцо регулярных языков.Незамкнутость полукольца регулярных языков.

П/к РЯ-R(v) п/к с итерацией состоит из пустого языка языка ,всех языков ,аÎÚ(каждый из которых содержит единственную однобуквенную цепочку а),и замкнутую относительно итерации.

Теор. Язык в алфавите V регуляренÛон является элементом п/к R(v).Алгебраические операции над регулярными языками представляют с помощью регулярных выражений. Каждый р.в. представляет некоторой р.я., причем языки Æ, и ,где аÎÚ,обозначаются выражениями Æ,  и ,соответственно, и если рег. Выражение р обозначает р.я. Р, а рег. выражениями q обоз. р.я. Q, то (р+q),pq или p* обозначает множества pÚq, PQ и P*.

Приоритет.

¯:*,.,+.

V= -р.я.

1)Æ, , ,аÎÚ

2)L₁ иL_2-р.я. L₁ÚL₂-р.я.

3)            L₁0L₂-р.я.

4)L-р.я. L*= =р.я.

5)других нет.

.Алфавит.слово и язык в алфавите.полукольцо языков,его замкнутость.

Алфавит-это произвольное непустое конечное мн-во V= ,элементы кот. Наз. буквами или символами.

Слово- произвольный кортеж из мн-ва V^k(к-ый декартовый степени алфавита V)для различных к=0,1,2…

Язык – произвольное подм-во мн-ва V*

Соединением слов х=х(1)х(2)…х(к)и y=y(1)y(2)…y(m)наз слово

Xy=x(1)x(2)….x(k)y(1)y(2)….y(m)

Соединением языков L₁ иL₂наз язык L1 L2,состоящий из всех возможных соединений слов ху,в кот. слово х принадлежит первому, а слово у-второму языку,т.е. L₁иL₂=

Итерация языкаL наз. объединение всех его степеней:

L*=V_n=0 Lⁿ

П/к рег. Языков.В замкнутом п/к L(V) всех языков в алфавите V рассмотрим подалгебру, порожденную мн-вом, кот. Состоит из пустого языка, языка ,всех языков , аÎÚ(каждый из которых содержит единственную однобуквенную цепочку а),и замкнутую относительно итерации.Эта подалгебра R(V),есть

п/к с итерацией.оно и есть п/к рег.языков.