Неподвижная точка отображения. Теорема о неподвижной точке.

Элемент а множества А называют неподвижнойточкой отображения f:А→А, если f(а)=а. Элемент а упорядоченного множества М называют наименьшей неподвижной точкой отображения f:М→М, если он является наименьшим элементом множества всех неподвижных точек отображения f.Теорема о неподвижной точкеФормулировка: любое непрерывное отображение f индуктивного упорядоченного множества (М, <) в себя имеет наименьшую неподвижную точку.Доказательство: обозначим через О наименьший элемент множества М. Полагаем f⁰(х)=х и fⁿ(х)= f(f^n-1(х)) для любой n˃0, т.е. fⁿ(х) означает результат n-кратного применения f к х. Рассмотрим последовательность элементов М:{fⁿ(0)}n≥o ={0,f(0), … fⁿ(0) …}. Докажем, что последовательность неубывающая. Используем метод математической индукции. Для элемента О, как наименьшего элемента множества М, имеем 0=f⁰(0)≤f(0). Пусть для некоторых натуральных n верно соотношение f^n-1(0)≤fⁿ(0), согласно теории о «отображении одного индуктивного упорядоченного множества в другом монотонно», отображение f монотонно, и по этомуfⁿ(0)=f(f^n-1(0))≤f(fⁿ(0))=fⁿ⁺¹(0),т.е. соотношение верно для номера n+1. Согласно методу математической индукции, fⁿ(0)≤fⁿ⁺¹(0) для любого nEN₀, т.е. последовательность неубывающая. Следовательно, по определению индуктивного упорядоченного множества, она имеет точную верхнюю грань. Обозначим ее через а:а=sup_n≥0fⁿ(0).Докажем теперь, что если у неубывающей последовательности отбросить любое конечное число начальных членов, то ее точная верхняя грань не изменится.Действительно, если а есть точная верхняя грань неубывающей последовательности {х_n}≥0, то а≥х_n для всякого n≥0. В частности фиксируя производную к˃0, для любого n≥к имеем а≥х_n, т.е. а будет верхней гранью подпоследовательности {х_n}n≥k≥0.Докажем, что а является точной верхней гранью этой подпоследовательности. Пусть b какая-то ее верхняя грань, т.е.b≥х_n для любого n≥к. Так как последовательность {x_n}≥0 x_k≤b, то в силу транзитивности отношения порядка x_p≤b и тем самым b≥х_n для любого n≥0, т.е. b есть верхняя грань всей последовательности {x_n}_n≥0. Поскольку а=sup_n≥0x_n, то а≤b и а=sup_n≥k≥0x_n. Следовательно, а – точная верхняя грань подпоследовательности {x_n}_n≥k. В силу непрерывности f получимf(a)=f (sup_n≥0fⁿ(0))=sup_n≥0f(fⁿ(0))=sup_n≥0fⁿ⁺¹(o)ноsupfⁿ⁺¹(0)=sup {f¹(0), f²(0) … }= sup_n≥0fⁿ(0)=а

Таким образом, доказано, что а является неподвижной точкой отображения f.Покажем теперь, что найденная неподвижная точка является наименьшей. Пусть для некоторого yEMf(y)=y. Т.к. 0<y, а отображение f, будучи непрерывным, монотонно, то f (0)≤f(y)=y, f(f(0))≤f(f(y))=y и т.д. Следовательно, для любого n≥0, fⁿ(0)≤y, т.е. элемент y есть верхняя грань последовательности {fⁿ(0)} _n≥0. Поскольку а (как точная верхняя грань) есть наименьший элемент на множестве всех верхних граней этой последовательности, то y≥а. Таким образом мы доказали, что произвольная неподвижная точка отображения f не меньше элемента а, т.е. а – наименьшая неподвижная точка отображения f.