Определители 2-3 порядка. Решение и свойства.

Зачет по математике

Матрица. Основные определения

Матрица является одним из основных математических понятий

Одним из основных математических понятий является матрица, под которой понимается система из чисел (элементов матрицы), записанных прямоугольной таблицей из строк и столбцов: Количество строк и столбцов задают размеры матрицы.

Для задания матриц применяются скобки (), [] или | | | |.

Матрица - это таблица данных, которая берется в круглые скобки:

Матрица обычно обозначаются заглавными буквами латинскогоалфавитв. Матрица содержащая n строк и mстолбцов, называется матрицей размера n×m. При необходимости размер матрицы записывается следующим образом: A_n×m.

Элементы матрицы A обозначаются a_ij, где i - номер строки, в которой находится элемент, j - номер столбца.

Строка матрицы называется нулевой, если все ее элементы равны нулю.

Если хотя бы один из элементов строки матрицы не равен нулю, то строка называется ненулевой.

лавной диагональю матрицы называется диагональ, проведённая из левого верхнего угла матрицы в правый нижний угол.

Побочной диагональю матрицы называется диагональ, проведённая из левого нижнего угла матрицы в правый верхний угол.

Следом матрицы называется сумма диагональных элементов матрицы.

След матрицы обозначается trA = a₁₁ + a₂₂ + ... + a_nn.

Действия над матрицами. Их свойства.

Некоторые операции над матрицами, такие как сложение и вычитание, допускаются только для матриц одинакового размера.

Равные матрицы

Определение

Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы равны:

Произведение матрицы на число

Определение

Произведением матрицы на число называется матрица, полученная изисходной умножением каждого ее элемента на заданное число.

Сумма матриц

Определение

Суммой матриц и одного размера называется матрица такого же размера, получаемая из исходных путем сложения соответствующих элементов.

Свойства линейных операций:

Везде далее матрицы , и - матрицы одного размера

1. Ассоциативность

2. , где - нулевая матрица соответствующего размера.

3.

4. Коммутативность

5. Дистрибутивность

6.

7.

Произведение двух матриц

Определение

Произведением матрицы на матрицу называется матрица такая, что элемент матрицы , стоящий в -ой строке и -ом столбце, т.е. элемент , равен сумме произведений элементов -ой строки матрицы на соответствующие элементы -ого столбца матрицы .

Свойства произведения матриц:

1. Ассоциативность

2. Ассоциативность по умножению

3. Дистрибутивность ,

4. Умножение на единичную матрицу

5. В общем случае умножение матриц не коммутативно, т.е.

6.

Транспонирование матрицы - это операция над матрицей, когда ее строки становятся столбцами с теми же номерами.

Свойства транспонирования матриц:

1.

2.

3.

4.

Определители 2-3 порядка. Решение и свойства.

определитель второго порядка равен произведению элементов на главной диагонали минус произведение элементов на побочной диагонали.

Определители возникли в теории систем линейных уравнений. Покажем, как применяется понятие определителя второго порядка к решению системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Такая система в общем виде может быть записана следующим образом: a11x1 + a12x2 = b1, a21x1 + a22x2 = b2.

Определителем второго порядка называется число, полученное с помощью элементов квадратной матрицы 2-го порядка следующим образом:

.

При этом из произведения элементов, стоящих на так называемой главной диагонали матрицы (идущей из левого верхнего вправый нижний угол) вычитается произведение элементов, находящихся на второй, или побочно

Определителем третьего порядка называется число, определяемое с помощью элементов квадратной матрицы 3-го порядка следующим образом:

Замечание. Для того, чтобы легче запомнить эту формулу, можно использовать так называемое правило треугольников. Оно заключается в следующем: элементы, произведения которых входят в определитель со знаком «+», располагаются так:

Сформулируем и докажем основные свойства определителей 2-го и 3-го порядка (доказательство проведем для определителей 3-го порядка).

Свойство 1. Определитель не изменяется при транспонировании, т.е.

Доказательство.

=

Замечание. Следующие свойства определителей будут формулироваться только для строк. При этом из свойства 1 следует, что теми же свойствами будут обладать и столбцы.

Свойство 2. При умножении элементов строки определителя на некоторое число весь определитель умножается на это число, т.е.

.

Доказательство.

Свойство 3. Определитель, имеющий нулевую строку, равен 0.

Доказательство этого свойства следует из свойства 2 при k = 0.

Свойство 4. Определитель, имеющий две равные строки, равен 0.

Доказательство.

Свойство 5. Определитель, две строки которого пропорциональны, равен 0.

Доказательство следует из свойств 2 и 4.

Свойство 6. При перестановке двух строк определителя он умножается на –1.

Доказательство.

Свойство 7.

Доказательство этого свойства можно провести самостоятельно, сравнив значения левой и правой частей равенства, найденные с помощью определения 1.5.

Свойство 8. Величина определителя не изменится, если к элементам одной строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.

Доказательство следует из свойств 7 и 5.