Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Необходимое условие относительного экстремума
Обозначим через искомую экстремаль. Тогда любую другую функцию из рассматриваемого класса можно представить в виде , где - вариация функции. При этом, если является малой в смысле некоторой меры, то говорят о близких кривых сравнения. Понятно, что , тогда условия (1.9) будут необходимыми и достаточными условиями минимума и максимума, соответственно. Однако, эти условия не конструктивны. Для получения более эффективных условий вводится понятие первой вариации функционала. Для этого представим приращение функционала в виде , (1.10) где - линейная относительно часть приращения, содержит величины более высокого порядка малости, чем , т.е. при . Тогда при достаточно малых знак приращения будет определяться знаком первой вариации . Из выражения (1.10) следует, что необходимым условием минимума или максимума (экстремума) функционала является условие (1.11) Для доказательства предположим, что кривая доставляет минимум (максимум) функционалу . Это означает, что при любых . Если теперь предположить, что условие (1.11) неверно, то в силу линейности от первая вариация , а значит и будут менять знак при смене знака , что противоречит условию и доказывает справедливость условия (1.11). Условие (1.11) еще называют условием стационарности. Поскольку оно является необходимым условием экстремума, ему должны удовлетворять все кривые, доставляющие и минимум, и максимум функционалу , т.е. это условие позволяет выделить все множество функций, среди которых находится и искомое, если оно существует. Используя условие (1.11), можно получить уравнения, которым с необходимостью должны удовлетворять искомые экстремали.
Основная лемма вариационного исчисления Лемма. Пусть - заданная непрерывная функция, удовлетворяющая уравнению , (1.12) где - любая непрерывная функция, то . Доказательство. Предположим, что условие не выполняется и существует некоторая точка , в которой . Для определенности положим, что . Тогда в силу непрерывности функции существует в окрестности точки некоторый интервал , где . Поскольку - любая непрерывная функция, выберем ее следующим образом В этом случае , что противоречит условию (1.12) и доказывает лемму.
|
||
Последнее изменение этой страницы: 2018-05-30; просмотров: 235. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |