Пассивные электрические фильтры

Пассивным электрическим фильтром называется электрическая цепь, предназначенная для выделения определенной полосы частот из сигнала, поступающего на его вход. В отличие от колебательных контуров, фильтры позволяют выделять более широкую полосу частот. Область частот, пропускаемых фильтром, называется полосой пропускания, или полосой прозрачности. Область частот, задерживаемых фильтром, называется полосой задержки, или полосой непрозрачности.

По виду амплитудно-частотных характеристик фильтры делятся на фильтры нижних частот (ФНЧ), фильтры верхних частот (ФВЧ), полосовые фильтры (ПФ) и заградительные фильтры (ЗФ) или режекторные фильтры (РФ). Идеальные АЧХ этих фильтров приведены на рис. 2.23.

Частота w_с, разделяющая обе эти полосы, называется частотой среза. Реальная АЧХ (для ФНЧ см. рис. 2.23 а) всегда имеет плавный переход от полосы прозрачности к полосе задержки. В этом случае частота среза w_с определяется по уровню  от максимального значения величины коэффициента передачи фильтра K. Для получения идеальной характеристики фильтра необходимо, чтобы в полосе прозрачности он не вносил потерь энергии, что возможно в случае, когда фильтр образован только чисто реактивными элементами. В полосе задержки энергия источника сигнала должна полностью отражаться фильтром.

Пассивный фильтр можно трактовать как электрическую цепь, состоящую из последовательных и параллельных элементов. На рис. 2.24 приведены структурные схемы простейших фильтров. Последовательные элементы на этом рисунке обозначены, как , а параллельные – как . В общем случае – это реактивные элементы. Использование половинных и удвоенных значений обозначенных элементов упрощает вычисления при анализе таких цепей. Более сложные схемы пассивных фильтров очень часто представляют собой каскадное последовательное, или так называемое «лестничное», соединение простых Т- и П-образных звеньев.

Получим далее условие полосы прозрачности Т-образного фильтра, работающего на согласованную нагрузку, равную характеристическому сопротивлению r. Найдем полное входное сопротивление такого фильтра и приравняем его к величине r, что необходимо для выполнения условия согласования фильтра по входу (рис. 2.24 д). В результате этого получим

откуда находим .

Тогда полное входное сопротивление рассматриваемого фильтра, обозначенное как r_т, будет равно

.

(2.89)

На границе полосы прозрачности r_т=0 и, следовательно, . Отсюда вытекают два условия:  и  или , т. е. . Это означает, что полоса прозрачности фильтра определяется неравенством

.

(2.90)

Для П-фильтра (рис. 2.24 г) можно получить аналогичное соотношение для входного сопротивления r_п

.

(2.91)

Ниже рассмотрим несколько конкретных примеров, касающихся простых LC-фильтров.

Для такого фильтра в области НЧ , , . Для полосы прозрачности имеем два условия: , . При этом сопротивление фильтра . Из последнего выражения следует, что на частоте среза w_с сопротивление r_т=0, и тогда , откуда получаем

.

(2.92)

При w=0 сопротивление фильтра . Таким образом, в полосе прозрачности сопротивление рассматриваемого фильтра r_т активно и изменяется от  до 0 (рис. 2.26). Зная величину сопротивления R_н, на которое нагружен рассматриваемый фильтр , и частоту среза , можно определить элементы фильтра:  и .

Пример 2. LC-фильтр верхних частот (рис. 2.27).

Для этого фильтра в области высоких частот , , а  Для полосы прозрачности имеем:  и . Сопротивление фильтра

.

.             (2.93)

При w®¥ , а при w=w_с r_т=0 (рис. 2.28). Поэтому в полосе прозрачности сопротивление фильтра r_т активно и изменяется от 0 до .

Пример 3. Полосовой LC-фильтр (рис. 2.29 а).

Для такого фильтра в полосе прозрачности, т. е. когда сопротивления L₂ и C₂ велики, имеем

, .

Из условия полосы прозрачности  и . Очевидно, что точка, соответствующая значению , лежит внутри полосы прозрачности. Значения же частот w_с1 и w_с2 можно найти, решив уравнение .

Пример 4. Заградительный LC-фильтр (рис. 2.30).

Для этого фильтра в полосе прозрачности, т. е. когда сопротивления L₂ и C₂ велики, справедливо

, .

Для полосы прозрачности  Точки, соответствующие значению  лежат внутри полосы прозрачности, а значения w_с1 и w_с2 можно найти, решив уравнение

.

Пример 5. Полосовой RC-фильтр (рис. 2.31).

Рассмотрим далее некоторые примеры пассивных электрических фильтров, построенных из элементов R и C , т. е. RC-фильтров. Схемами простейших RC-фильтров нижних и верхних частот являются соответственно интегрирующая и дифференцирующая цепи. Их частотные и фазовые характеристики были приведены в п. 2.2 и 2.3. Более сложными типами RC-фильтров являются полосовой и заградительный.

Полосовой RC-фильтр может быть образован путем последовательного соединения RC-фильтров нижних и верхних частот (рис. 2.31 а). Векторная диаграмма такого фильтра показана на рис. 2.31 б.

Выражение для коэффициента передачи по напряжению для полосового фильтра при значении элементов R₁=R₂=R и C₁=C₂=C имеет вид

(2.94)

Модуль коэффициента передачи, т. е. АЧХ полосового фильтра согласно соотношению (2.94) дается выражением

(2.95)

Максимальная величина модуля коэффициента передачи выражения (2.95) достигается привыполнении равенства  и принимает значение

График зависимости (2.95) показан на рис. 2.32. Как видно на данном рисунке, АЧХ полосового фильтра напоминает резонансную кривую колебательного контура. Поэтому соответствующую частоту называют квазирезонансной. Ее значение может быть получено из выражения (2.95) с учетом соотношения (2.96):

или .

(2.97)

Пример 6.Заградительный RC-фильтр (рис. 2.33).

Заградительный RC-фильтр часто называют двойным Т-образным мостом. Он представляет собой параллельное соединение Т-образных фильтров верхних и нижних частот (рис. 2.33 а). Качественно работу заградительного фильтра можно объяснить, перерисовав схему более наглядно, как это показано на рис. 2.33 б. В данном случае считаем, что сопротивление нагрузки R_н не влияет на работу фильтра, т. е. что R_н имеет достаточно большую величину. Слева и справа подведено переменное входное напряжение от одного и того же источника сигнала. В этом случае можно заметить, что при w®0 K®1, а при w®¥ K®1. Это означает, что в области нулевой частоты и бесконечно больших частот коэффициент передачи фильтра равен 1.

Векторные диаграммы для левой и правой части преобразованной схемы приведены на рис. 2.34 а, б. Если направить векторы напряжений  и  из одной точки (рис. 2.34 в), то видно, что они при определенной частоте сигнала могут быть равны друг другу по величине и противоположны по фазе. На этой частоте, называемой также, как и в случае полосового фильтра, квазирезонансной, коэффициент передачи фильтра будет равен нулю, а фаза меняется скачком на p. Графики зависимостей K(f) и j(f)представлены на рис. 2.35. Если в рассматриваемом заградительном фильтре положить, что R₁=R₂=R, C₁=C₂=C, R₃=R/2, и C₃=2C, то выражения для его АЧХ и ФЧХ будут иметь соответственно вид

, ,

(2.98)

а значение для квазирезонансной частоты будет равно

или

(2.99)

В заключение данного раздела отметим, что помимо k-фильтров на практике широко используются так называемые m-фильтры, которые могут быть построены из прототипов (k-фильтров) путем перераспределения реактивных сопротивлений в последовательных и параллельных ветвях. В этом случае коэффициент m изменяется от 0 до 1.

Основным преимуществом фильтров типа m по сравнению с фильтрами типа k является то, что их сопротивление активно и близко к

2.9. Четырехполюсники

Любой четырехполюсник характеризуется четырьмя параметрами: входным и выходным напряжениями U₁ и U₂, а также входным и выходным токами I₁ и I₂ (см. выше рис. 2.1). Если два из этих параметров заданы, то два других определяются однозначно. Если, например, заданы токи I₁ и I₂, то можно записать

где f₁(I₁, I₂) и f₂(I₁, I₂) – некоторые дифференцируемые функции токов I₁ и I₂.

Для малых приращений напряжений U₁ и U₂ будем иметь  и аналогично для . На основании этого приходим к следующей системе уравнений:

(2.101)

Роль малых приращений dI₁, dI₂, dU₁ и dU₂ могут играть малые переменные токи и напряжения. Поэтому для линейного четырехполюсника и гармонического сигнала систему уравнений (2.101) можно переписать в комплексном виде

(2.102)

Система (2.102) носит название системы Z-параметров. Наибольшее распространение для описания свойств и параметров четырехполюсников получили, помимо системы Z-параметров, также системы уравнений, в которых в качестве независимых переменных берутся входное и выходное напряжения (система Y-параметров)

(2.103)

а также входной ток и выходное напряжение (система H-параметров)

(2.104)

Z-, Y-и Н-параметры могут быть определены по результатам эксперимента в режимах «холостого хода» и «короткого замыкания» соответственно по переменному току и напряжению на входе и выходе четырехполюсника. Их физический смысл следует непосредственно из вида уравнений (2.101)¸(2.104) Так, для Z-параметров (параметров «холостого хода») имеем:

	–	Входное сопротивление четырехполюсника при «холостом ходе» для переменного тока на выходе;
	–	сопротивление обратной связи (обратной передачи) при «холостом ходе» для переменного тока на входе;
	–	сопротивление прямой передачи (сопротивление усиления) при «холостом ходе» для переменного тока на выходе;
	–	выходное сопротивление при «холостом ходе» для переменного тока на входе.

Физический смысл Y-параметров (параметров «короткого замыкания») заключается в следующем:

	–	Входная проводимость при «коротком замыкании» выхода для переменного напряжения;
	–	проводимость обратной связи (обратной передачи) при «коротком замыкании входа» для переменного напряжения;
	–	проводимость прямой передачи (усиления) при «коротком замыкании» выхода для переменного напряжения;
	–	выходная проводимость при «коротком замыкании» входа для переменного напряжения.

Физический смысл Н-параметров (гибридная или смешанная система) состоит в следующем:

	–	входное сопротивление в режиме «короткого замыкания» выхода для переменного напряжения;
	–	коэффициент внутренней обратной связи по напряжению при «холостом ходе» для переменного тока на входе;
	–	коэффициент передачи по току (коэффициент усиления) при «коротком замыкании» выхода для переменного напряжения;
	–	выходная проводимость при «холостом ходе» для переменного тока на входе.

Параметры любой из систем можно выразить через параметры другой системы. В качестве примера выразим H-параметры четырехполюсника через его Z-параметры. Для этого из второго уравнения системы (2.102) найдем ток  и подставим в первое уравнение. Тогда  и , где . С учетом выполненных преобразований перепишем систему уравнений (2.102) в следующем виде:

(2.105)

Сравнивая коэффициенты системы уравнений (2.105) с соответствующими коэффициентами системы уравнений (2.104), можно записать

.

Аналогичные соотношения можно получить и для любых других параметров. Результаты вычислений, позволяющие совершать переход от одной системы параметров к другой, сведены в табл. 2.1.

Если Z-, Y-и H-параметры имеют активный характер, то при записи этот факт подчеркивается заменой Z на r, Y на y, H на h.

Таблица 2.1.
		–
	–		–
		–

В принципе безразлично, какой из систем уравнений четырехполюсника пользоваться, так как они в определенном смысле равноправны и взаимосвязаны. Однако чаще всего для транзисторных схем используется система H-параметров, так как их достаточно просто и с необходимой степенью точности можно определить экспериментально.

К виду систем уравнений (2.102) – (2.104) можно привести любую электронную цепь, имеющую две клеммы на входе и две на выходе. По этим уравнениям можно составить различные эквивалентные схемы четырехполюсников ( т. е. построить так называемые формализованные модели). Эквивалентность в данном случае заключается в том, что все внешние токи и напряжения в реальной схеме, и схеме, соответствующей формализованной модели четырехполюсника, будут одинаковы.

На рис. 2.37 представлено три примера таких моделей: модель, соответствующая рис. 2.37 а описывается уравнениями (2.102); соответствующая рис. 2.37 б – уравнениями (2.103) и рис. 2.37 в – уравнениями (2.104). При этом направления токов на эквивалентных схемах выбраны произвольно и в различных случаях могут быть изменены, что определяется конкретными схемами рассматриваемых четырехполюсников.

Наиболее простыми пассивными симметричными схемами четырехполюсников являются Т- и П-образные схемы (рис. 2.38). Установим связь между параметрами цепей, представленных на рис. 2.37 а и рис. 2.38 а, а также соответствующих им цепей, приведенных на рис. 2.37 б и 2.38 б. Для схемы рис. 2.37 а можно записать

	,	(2.106)
	,	(2.107)
	,	(2.108)
	.	(2.109)

Подставим значение  из формулы (2.107) в соотношение (2.106). Тогда получим , откуда . И, наконец, непосредственно из (2.107) и (2.108) следует, что .

Далее согласно определению Y-параметров можно записать