Олимпиадные задачи. Задачи на разрезания и перекраивания.

Как правило, к олимпиадным задачам относятся так называемые «нестандартные» задачи, т.е. такие алгоритмы решения, которых явно не определены. К таким задачам относятся:

1. Стандартные по фабуле задачи школьной математики, но нестандартные по формам решения.

2. Нестандартные по фабуле и содержанию задачи, требующие анадиза предложенных ситуаций.

3. Олимпиадные и тематические задачи. Это задачи на определенную тему, не содержащуюся в программе школьного курса математики, но обязательно присутствующие в программе подготовки школьников к олимпиадам:

-Принцип Дирихле

-Инварианты

-игры

-стратегии

-графы

-процессы и операции и т.д.

Задачи на разрезание помогают как можно раньше формировать геометрические представления у школьников на разнообразном материале, также они развивают воображение.

Ученики смогут разрезать фигуры на части, необходимые для составления той или иной фигуры, использовать их св-ва и признаки, что помогает лучшему усвоению знаний, научиться доказывать, что площади фигур равны.

Данный задания не имеют общего метода решения, что обуславливает их ценность для развития не конкретного учебного умения или навыка, а вообще умение думать, размышлять, анализировать, искать аналогии, то есть они развивают мыслительные навыки в самом их широком понимании.

1. Задачи на клетчатой бумаге. (Алгоритм:найти центр симметрии фигуры, после выбираем точку и симметричную ей, проводим звенья и тд пока ломаная не замкнется)

2. Пентамино: Фигуры домино, тримино, тетрамино (игру с такими фигурками называют тетрис), пентамино составляют из двух, трех, четырех, пяти квадратов так, чтобы любой квадрат имел общую сторону хотя бы с одним квадратом. Из двух оди-наковых квадратов можно составить только одну фигуру — домино. Фигуры тримино можно получить из единственной фигуры домино, приставляя к ней различными спо-собами еще один квадрат. Получится две фигуры тримино.

Разбиение плоскости.

5. Танграм. Составить из имеющихся фигур какую-то заданную фигуру (напри-мер человечка, цветок и т.д.)

Задачи на разрезание в пространстве. (иразризание куба, пирамиды и тд)

7. Задачи на раскраску. (для докозательства что некоторые задачи на разрезание не имеют решения)

Олимпиадные задачи. Перестановки.

Как правило, к олимпиадным задачам относятся так называемые «нестандартные» задачи, т.е. такие алгоритмы решения, которых явно не определены. К таким задачам относятся:

1. Стандартные по фабуле задачи школьной математики, но нестандартные по формам решения.

2. Нестандартные по фабуле и содержанию задачи, требующие анадиза предложенных ситуаций.

3. Олимпиадные и тематические задачи. Это задачи на определенную тему, не содержащуюся в программе школьного курса математики, но обязательно присутствующие в программе подготовки школьников к олимпиадам:

-Принцип Дирихле

-Инварианты

-игры

-стратегии

-графы

-процессы и операции и т.д.

Опр

Комбинации из n элементов отличающиеся друг от друга только порядком расположения в них элементов, называются перестановками из n элементов.

Перестановка – каждое расположение элементов мн-ва в определенном порядке.

Сколькими способами можно переставить nразличных элементов, расположенных в nместах.

Пример: сколькими способами можно раздать 5 различных конфет по одной 5 человек?

Решение: Для первого у нас есть 5 возможностей, для второго – четыри, для третьего – три, для четветого- две, и для последнего всего одна.

Значит количество способов равно 5*4*3*2*1=5!

Олимпиадные задачи. Геометрические инварианты.

Как правило, к олимпиадным задачам относятся так называемые «нестандартные» задачи, т.е. такие алгоритмы решения, которых явно не определены. К таким задачам относятся:

1. Стандартные по фабуле задачи школьной математики, но нестандартные по формам решения.

2. Нестандартные по фабуле и содержанию задачи, требующие анадиза предложенных ситуаций.

3. Олимпиадные и тематические задачи. Это задачи на определенную тему, не содержащуюся в программе школьного курса математики, но обязательно присутствующие в программе подготовки школьников к олимпиадам:

-Принцип Дирихле

-Инварианты

-игры

-стратегии

-графы

-процессы и операции и т.д.

Инварианты - числа, алгебраические выражения и т. п., связанные с каким-либо математическим объектом и остающиеся неизменными при определенных преобразованиях этого объекта или системы отсчёта, в которой описывается объект.

Чтобы охарактеризовать какую-либо геометрическую фигуру и её положение с помощью чисел, обычно приходится вводить некоторую вспомогательную систему отсчёта или систему координат. Полученные в такой системе числа x1, x2,..., xn характеризуют не только изучаемую геометрическую фигуру, но и её отношение к системе отсчёта, и при изменении этой системы фигуре будут отвечать другие числа x¢1, х¢2,..., х¢n. Поэтому если значение какого-либо выражения f (x1, x2,..., xn) характерно для фигуры самой по себе, то оно не должно зависеть от системы отсчёта, т. е. должно выполняться соотношение
f (x1, x2,..., xn) = f (x¢1, x¢2,..., x¢n). (1)

Все выражения, удовлетворяющие соотношению (1), называются инвариантами. Например, положение отрезка M1M2 на плоскости определяется в прямоугольной системе координат двумя парами чисел x1, y1 и x2, y2 - координатами его концовM1 и M2. При преобразовании координатной системы (путём смещения её начала и поворота осей) точки M1 и M2 получают другие координаты x¢1, у¢1 и x¢2, у¢2, однако (x1 - x2)²+ (y1 - y2)² = (x¢1 - x¢2)² + (y¢1 - у¢2)². Поэтому выражение (x1 - x2)² + (y1 - - y2)² является Инварианты преобразования прямоугольных координат. Геометрический смысл этого Инварианты ясен: это квадрат длины отрезкаM1M2.

Инвариантами также может быть например площадь фигуры и др.

Пример задачи муравиь рассположенны в вершинах прямоугольника, бегают поочередно по прямой паралельной двум остающимся на месте. Можно ли рассположить муравьев в серединах сторон исходного квадрата? (Геометрический инвариант- площадь образованого муравьями треугольника остается неизменной)