Ортогональные и ортонормированные базисы евклидовых пространств

Векторы a, bÎL называются ортогональными, если (a, b) = 0, то есть, их скалярное произведение равно нулю. Система из k векторов a₁, ... ,a_k пространства L называются ортогональной, если (a_i,a_j) = 0 при любых i, jÎ {1,..., k}, i¹j.

Любая ортогональная система, a₁,...,a_k состоящая из ненулевых векторов, линейно независима.

Ортогональная система векторов евклидова пространства, состоящая из векторов с нормой равной единицы, называются ортонормированной.          

Процедура ортогонализации:

b₁ = a₁,

b₂ =a₂ -b₁((a₂,b₁)/(b₁,b₁))

…………………………………………….

b_n=a_n - b₁((a_n,b₁)/(b₁,b₁)) - …… - b_n-1(a_n,b_n-1)/(b_n-1,b_n-1)

Теперь в полученном ортогональном базисе каждый вектор b_i на вектор . Такая процедура называется нормированием..

Элементы теории групп

Бинарной операцией на множестве Мназывается произвольное правило f, которое любой упорядоченной паре элементов из М ставит в соответствие вполне определенный элемент из М. Элемент, сопоставляемый паре (а, b), называется значением операции f на паре (а, b) или результатом применения операции f к элементам а, b, и может обозначаться через f (а, b) или afb.

Вместо буквы f могут использоваться различные символы, такие как: *, +, - , ·, .

Непустое множество Gс одной бинарной алгебраической операцией * называется группоидоми обозначается в виде (G, *) или просто G, если операция считается известной.

Конечный (содержащий конечное количество элементов n) группоид (G,*) может быть задан квадратной таблицей, называемой таблицей Кэли. В первой строке и в первом столбце этой таблицы выписываются в определенном порядке все элементы множества G; результат же применения операции * к элементам а, bзаписывается на пересечении строки, начинающейся с элемента а и столбца, начинающегося с элемента b. Любое заполнение внутренней части таблицы задает операцию на G. .

Множества с введенными в них операциями, отличающиеся лишь природой и обозначениями элементов и операций, но не сутью самих операций, называют изоморфными.Еще раз дадим строгое определение изоморфизма группоидов: Группоиды (G, *) и (H, º) называются изоморфными, если существует (биективное) взаимно однозначное отображение j: G→ H (Gна H) такое, что для любых элементов а, bÎG;  и выполняется равенство . При этом отображение jназывают изоморфизмомгруппоида (G, *) на группоид (H, º).

Если j-изоморфизм группоида (G, *) на группоид (H, º), то обратное отображение j^-1 является изоморфизмом группоида (H, º) на группоид (G,*).

Наличие изоморфизма между группоидами обозначается следующим образом: (G, *) @ (H, º).