Основные правила дифференцирования.

           Обозначим f(x) = u, g(x) = v- функции, дифференцируемые в точке х.

1) (u ± v)¢ = u¢± v¢

2) (u×v)¢ = u×v¢ + u¢×v

3) , если v¹ 0

           Эти правила могут быть легко доказаны на основе теорем о пределах.

Производные основных элементарных функций.

1)С¢ = 0;            9)

2)(x^m)¢ = mx^m-1;

10)

3)

11)

4)

12)

5)                     

13)

6)

14)

7)

15)

8)

16)

Логарифмическое дифференцирование.

Рассмотрим функцию .

Тогда (lnïxï)¢= , т.к. .

           Учитывая полученный результат, можно записать .

Отношение  называется логарифмической производной функции f(x).

           Способ логарифмического дифференцированиясостоит в том, что сначала находят логарифмическую производную функции, а затем производную самой функции по формуле

           Способ логарифмического дифференцирования удобно применять для нахождения производных сложных, особенно показательных функций, для которых непосредственное вычисление производной с использованием правил дифференцирования представляется трудоемким.

Производные и дифференциалы высших порядков. Производная параметрически заданных функций.

Производные и дифференциалы высших порядков.

           Пусть функция f(x)- дифференцируема на некотором интервале. Тогда, дифференцируя ее, получаем первую производную

           Если найти производную функции f¢(x), получим вторую производнуюфункции f(x).

т.е. y¢¢ = (y¢)¢ или .

Этот процесс можно продолжить и далее, находя производные степени n.

.