Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Первый замечательный предел.
При вычислении пределов выражений, содержащих тригонометрические функции, часто используют предел называемый первым замечательным пределом. Читается: предел отноешния синуса к его аргументу равен единице, когда аргумент стремится к нулю. Доказательство: Возьмем круг радиуса 1, обозначим радианную меру угла МОВ через х. пусть 0<x< . На рисунке , дуга МВ численно равна центральному углу х, . Очевидно, имеем . На основании соответствующих формул геометрии получаем . Разделим неравенство на >0, Получим 1< Так как , то по признаку ( о пределе промежуточной функции) существования пределов . А если x<0 => , где –x>0 => Второй замечательный предел. Как известно, предел числовой последовательности , имеет предел равный e. . 1.Пусть . Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами: , где n=[x] – это целая часть x. Отсюда следует , поэтому . Если , то . Поэтому: , . По признаку существования пределов: . 2. Пусть . Сделаем подстановку –x=t, тогда = . и называются вторым замечательным пределом. Они широко используются при вычислении пределов. В приложениях анализа большую роль играет показательная функция с основанием e. Функция называется экспоненциональной, употребляется также обозначение .
Непрерывность функции в точке. Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности O(x0) точки x0 (включая саму точку x0). Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если существует , равный значению функции f(x) в этой точке: =f(x0).
Необходимое и достаточное условие непрерывности функции в точке : Функция y = f(x) непрерывна в точке х0 тогда и только тогда, когда Замечание. Условие можно трактовать как второе определение непрерывности функции в точке. Оба определения эквивалентны. Пусть функция f(x) определена в полуинтервале [x0, x0 + δ ). Функция f(x) называется непрерывной справа в точке x0, если существует односторонний предел Пусть функция f(x) определена в полуинтервале (x0 − δ, x0]. Функция f(x) называется непрерывной слева в точке x0, если существует односторонний предел Непрерывность суммы, произведения и частного двух непрерывных функций : Теорема 1. Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х0, то в этой точке непрерывны f(x) ± g(x), f(x) · g(x), , (g(x0) ≠ 0).
|
||
Последнее изменение этой страницы: 2018-05-10; просмотров: 243. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |