Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Основные правила дифференцирования.
1) Производная суммы (разности) двух дифференцируемых функций равна сумме (разности) производных этих функций: . 2) Производная произведения двух дифференцируемых функций равна сумме произведений производной первого сомножителя на второй и производной второго сомножителя на первый: . 3) Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле: . 4) Постоянный множитель можно выносить за знак производной: . Таблица производных.
Пример 8.2. Найти производную функции . Решение: Используя правила дифференцирования (1 и 4) и таблицу производных, находим, что . Пример 8.3. Найти производную функции . Решение: Используя правило дифференцирования (2) и таблицу производных, находим, что . Пример 8.4. Найти производную функции . Решение: Используя правило дифференцирования (3) и таблицу производных, находим, что Производная сложной функции. Пусть есть функция от переменной ( ), а переменная в свою очередь есть функция от независимой переменной ( ), т.е. задана сложная функция . Функция является внешней функцией, а функция – внутренней. Теорема 8.1.Если и – дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна произведению производной внешней функции на производную внутренней (или внутренних) функции, т.е. . Пример 8.5. Найти производную функции . Решение: Исходную функцию можно представить в виде , где . Тогда, согласно теореме 8.1 о производной сложной функции, будем иметь: 1) ; 2) ; 3) . Следовательно, . Логарифмическое дифференцирование. Определение 8.4.Логарифмическое дифференцирование – это метод отыскания производной заданной функции путем предварительного ее логарифмирования. Замечание 8.1.Этот метод широко используется для нахождения производной от фукции вида , где и – функции аргумента . Действительно, логарифмируя обе части исходного равенства, получаем . Дифференцируя последнее соотношение, имеем . Умножая обе части этого равенства на и заменяя затем через , после простых преобразований окончательно получаем, что . Пример 8.6. Найти производную функции . Решение: Применим метод логарифмического дифференцирования: Производная неявной функции. Определение 8.5.Если как функция от задается посредством соотношения , где – выражение, содержащее и , то называется неявной функциейот . Для нахождения производной функции , заданной неявно, нужно продифференцировать обе части уравнения, рассматривая как функцию от , а затем из полученного уравнения найти производную . Пример 8.7. Найти производную функции , которая задана уравнением . Решение: Дифференцируем обе части равенства, рассматривая как функцию от : . Решаем полученное уравнение относительно : ; ; . |
||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2018-06-01; просмотров: 235. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |