Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Краткие теоретические сведения
Рассмотренные в предыдущей лабораторной работе методы генерации псевдослучайных последовательностей позволяют сформировать массивы отсчетов СВ с равномерным законом распределения. Однако при решении большинства практических задач требуется случайная (шумовая) составляющая с нормальным законом распределения. Основу всех методов преобразования равномерного закона распределения в любой другой закон составляет метод обратного преобразования функции распределения. Применение данного метода основано на нахождении функции, обратной по отношению к функции необходимого распределения. Если в качестве аргумента такой функции использовать равномерно распределенную на отрезке случайную величину, то получится СВ с требуемым законом распределения. Поскольку функция распределения для гауссовой СВ не описывается в элементарных функциях, то найти для нее обратную функцию невозможно. Поэтому по отношению к данной задаче метод обратного преобразования функции распределения был модифицирован в трудах британского статистика Джорджа Бокса и Мервина Мюллера, опубликовавших работу в 1958 г. Авторами было замечено, что распределение суммы квадратов двух независимых нормально распределенных СВ подчиняется экспоненциальному закону и является частным случаем Рис. 2.1 – Расположение точки со случайными координатами на декартовой плоскости Таким образом, если координаты точки на декартовой плоскости будут распределены равномерно, то квадрат длины радиус-вектора, соединяющего точку с началом координат, будет распределен по экспоненциальному закону. Очевидно, что в любом направлении на декартовой плоскости найдется пара случайных величин , характеризующаяся одним и тем же значением квадрата длины радиус-вектора, а, значит, все значения угла равновероятны и распределены по равномерному закону в интервале . Но тогда является справедливым и обратное утверждение. Если квадрат длины радиус-вектора точки на плоскости распределен по экспоненциальному закону, а угол, под которым радиус-вектор расположен к оси абсцисс, распределен равномерно в интервале , то декартовы координаты точки распределены по нормальному закону. Этот факт и лежит в основе преобразования Бокса-Мюллера. Для получения процедуры преобразования равномерно распределенной СВ в экспоненциально распределенную воспользуемся одним из выражений (1.36), определяющих необходимый вид плотности распределения вероятности: . (2.1) Тогда функция распределения будет иметь вид: . (2.2) Функция, обратная по отношению к имеет вид: . (2.3) С учетом того, что распределение СВ равномерное, а, значит, симметричное, обратную функцию можно заменить на: . (2.4) Величина , определенная выражением (2.4) будет иметь экспоненциальное распределение и описывать квадрат длины радиус-вектора. Угол, под которым радиус-вектор расположен к оси абсцисс, может быть сформирован из второй равномерно распределенной на интервале СВ умножением на : . (2.5) Таким образом, декартовы координаты точки на плоскости равны: (2.6) и иметь нормальный закон распределения. Величина в выражениях (2.6) определяет дисперсию нормально распределенных СВ и . Совместная плотность распределения вероятности для них может быть найдена следующим образом: . (2.7) где – якобиан преобразования. Решив систему уравнений (2.6) относительно и , нетрудно получить: (2.8) Тогда якобиан преобразования оказывается равным: . (2.9) Учитывая, что и независимые равномерно распределенные в интервале СВ, получаем: . (2.8) Тогда одномерная плотность распределения вероятности : . (2.9) Аналогичную плотность распределения вероятности имеет СВ : . (2.10) Сравнивая (2.9) и (2.10) с выражением (1.25) приходим к выводу, что СВ и имеют нулевое математическое ожидание и дисперсию . Выбирая , получаем нормированные нормально распределенные СВ, имеющие нулевое математическое ожидание и единичную дисперсию. Таким образом, преобразование Бокса-Мюллера принимает вид: (2.11) Если требуется сформировать отсчеты СВ с другими числовыми характеристиками, то можно осуществить линейное преобразование вида: и , где и – требуемые значения СКО и математического ожидания, соответственно. Существует модификация преобразования Бокса-Мюллера, позволяющая избавиться от вычислений тригонометрических функций. Она получается, если выразить и через координаты и длину радиус-вектора : Тогда выражения (2.11) принимают вид: (2.12) Причем получаемые в результате значения будут вещественными, если: (2.13) Такое возможно, если точка с координатами лежит внутри круга радиусом 1. Таким образом для выполнения преобразования Бокса-Мюллера вида (2.12) необходимо выбирать пару значений , проверять, принадлежит ли она внутренности круга единичного радиуса, вычислять квадрат длины радиус-вектора (2.13) и проводить расчет новой пары отсчетов СВ в соответствии с (2.12). Недостатком данной модификации преобразования Бокса-Мюллера является необходимость отбрасывания части пар значений , не удовлетворяющих условию (2.13), то есть использования лишь 78,5 % сгенерированных пар отсчетов СВ. Лабораторное задание |
||
Последнее изменение этой страницы: 2018-06-01; просмотров: 223. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |